Bevis rörande en hel funktion i C.

Hej. Jag sitter med en bevisuppgift i komplex analys:
"Anta att f är en hel funktion, dvs. att f är holomorf på hela $ℂ$ . Visa att funktionen

$g (z) = \bar{f (\bar{z})}$

också är en hel funktion."

Jag tänkte så här:

Först så vet jag att för f är Cauchy-Riemanns ekvationer uppfyllda i hela $ℂ$ , eftersom funktionen är hel

för f(z):

$z = x + i y f (z) = u (z) + i \cdot v (z) g ä l l e r d å : u_{x}^{'} = v_{y}^{'} u_{y}^{'} = - v_{x}^{'}$
Vidare tänkte jag:
$\bar{z} = x - i y \bar{f (z)} = u (z) - i \cdot v (z) \bar{f (\bar{z})} = u (x, - y) - i \cdot v (x, - y)$

Sen tar det stopp jag vet inte vad jag ska göra här efter.
Finns det någon som kan ge lite vägledning?

Använd kedjeregeln, $\displaystyle \frac{\partial u(x,h(y))}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial y} \frac{\partial u}{\partial h}$ osv.

@D4NIEL

Okej.

Gjorde så här:
$f (x) = u (x, y) + i \cdot v (x, y) x = e (x), y = b (y), \frac{\partial e}{\partial x} = 1, \frac{\partial b}{\partial y} = 1 \frac{\partial u (e (x), b (y))}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial e} = u_{x}^{'} \frac{\partial u (e (x), b (y))}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial b} = u_{y}^{'} \frac{\partial v (e (x), b (y))}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial e} = v_{x}^{'} \frac{\partial v (e (x), b (y))}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial b} = v_{y}^{'} g (x, y) = u (x, - y) - i \cdot v (x, - y) x = e (x), - y = h (y) = - b (y) \frac{\partial e}{\partial x} = 1, \frac{\partial h}{\partial y} = - 1 \frac{\partial u (e (x), h (y))}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial e} = u_{x}^{'} \frac{\partial u (e (x), h (y))}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial h} \frac{\partial h}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial h} = - \frac{\partial u}{\partial b} = - u_{y}^{'} - \frac{\partial v (e (x), h (y))}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial e} = - v_{x}^{'} - \frac{\partial v (e (x), h (y))}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial h} \frac{\partial h}{\partial y} = - (- \frac{\partial v}{\partial b}) = v_{y}^{'}$
Vet inte om det är rätt eller om det är rätt vad det skulle visa.

En annan idé. Om f är hel så kan den representeras av en och samma potensserie för alla z i planet. Alltså är även z’ representerad av denna potensserie. (använder ’ för att markera konjugat). f(z’) är således också hel. Sedan återstår endast att visa f hel => f’ hel.

Detta låter sig göras om man observerar att potensserien ifråga konvergerar absolut på alla kompakta delmängder av C. Det möjliggör att separera real- och imaginärdel av f’ för en sådan separering är ingenting annat än en omordning av potseriens termer, vilket är tillåtet vid absolutkonvergens.

Svara

Visa senaste svar