Bevisa

Du ska visa att 1/2 < 2/3 < 3/4, detta är alltså två olikheter som ska visas. Dels ska du visa att

1/2 < 2/3 och dels 2/3 < 3/4

För att visa att

1/2 < 2/3

så subtraherar vi 1/2 från båda sidorna och får

0 < 2/3 - 1/2

Nu gäller det att 2/3 - 1/2 = 4/6 - 3/6 = 1/6. Så påståendet att

1/2 < 2/3

är alltså ekvivalent med påstående att

0 < 1/6

Det senare är trivialt sant, så alltså har vi visat att 1/2 < 2/3. Kan du göra samma sak för olikheten 2/3 < 3/4?

Att som du ljusmoln göra om till decimaltal bevisar ju också a)

Ytterligare ett sätt är att förlänga varje bråktal så de får gemensam nämnare

1/2 < 2/3 < 3/4

$\frac{6x1}{6x2} < \frac{4x2}{4x3} < \frac{3x3}{3x4}$

$\frac{6}{12} < \frac{8}{12} < \frac{9}{12}$

Uppgiften i c)  kan bevisas genom att använda samma teknik som Stokastisk

Förklara varför m/n < (m+1)/(n+1)       borde varit parenteser i uppgiften

$\frac{m}{n} < \frac{m+1}{n+1} \Rightarrow 0 < \frac{m+1}{n+1} - \frac{m}{n}$

gör gemensam nämnare i HL

$0 < \frac{n(m+1)}{n(n+1)} - \frac{{\displaystyle (n+1)m}}{{\displaystyle (n+1)n}} \Rightarrow 0 < \frac{(mn+n) - (mn+m)}{(n+1)n} \Rightarrow$

$\Rightarrow 0 < \frac{mn + n - mn - m}{(n+1)n} \Rightarrow 0 < \frac{n - m}{(n+1)n }$

eftersom "positiva tal där m < n" gäller så måste HL vara ett bråktal där
både täljare och nämnare är positiva tal, dvs  0  <  HL

larsolof skrev :

Uppgiften i c)  kan bevisas genom att använda samma teknik som Stokastisk

Förklara varför m/n < (m+1)/(n+1)       borde varit parenteser i uppgiften

$\frac{m}{n} < \frac{m+1}{n+1} \Rightarrow 0 < \frac{m+1}{n+1} - \frac{m}{n}$

gör gemensam nämnare i HL

$0 < \frac{n(m+1)}{n(n+1)} - \frac{{\displaystyle (n+1)m}}{{\displaystyle (n+1)n}} \Rightarrow 0 < \frac{(mn+n) - (mn+m)}{(n+1)n} \Rightarrow$

$\Rightarrow 0 < \frac{mn + n - mn - m}{(n+1)n} \Rightarrow 0 < \frac{n - m}{(n+1)n }$

eftersom "positiva tal där m < n" gäller så måste HL vara ett bråktal där
både täljare och nämnare är positiva tal, dvs  0  <  HL

Men det blir väl inte korrekt? T.ex. om m=2 n=3

$$\begin{gathered} \frac{2}{3}\le \frac{2+1}{3+1} \\ \frac{2}{3}\le \frac{3}{4} \\ 0 \le \frac{3}{4}-\frac{2}{3} \\ 0 \le \frac{9}{12}-\frac{8}{12} \\ 0 \le \frac{1}{12} \\ Då \\ 0 \le \frac{n-m}{(n+1)n} \\ 0 \le \frac{3-2}{3x3+1}=\frac{1}{10} inte \frac{1}{12}? \end{gathered}$$

Om n = 3 så är n+1 = 4.Alltså är n(n+1) = 12, precis som larsolof skrev.

Smaragdalena skrev :

Om n = 3 så är n+1 = 4.Alltså är n(n+1) = 12, precis som larsolof skrev.

Oj, jag glömde prioriteringsreglerna. Tack!