Bevisa absolutbelopp

Eftersom funktionen $f(x) = x^2$ med den inskränkta definitionsmängden $D_f = V_f = [0, \infty)$ är strängt växande, så är den givna olikheten ekvivalent med den olikhet som fås genom att kvadrera båda leden.

$|a-b| \ge \left| \,|a|-|b|\,\right|$

är ekvivalent med att

$(a-b)^2 \ge (|a|-|b|)^2$

När man nu utvecklar kvadraterna och subtraherar termer som finns på båda leden, så fås

$-2ab \ge -2|ab|$,

vilket i sin tur är ekvivalent med

$ab \le |ab|$,

vilket är sant för alla reella tal $a$ och $b$

LuMa07 skrev:

Eftersom funktionen $f(x) = x^2$ med den inskränkta definitionsmängden $D_f = V_f = [0, \infty)$ är strängt växande, så är den givna olikheten ekvivalent med den olikhet som fås genom att kvadrera båda leden.

$|a-b| \ge \left| \,|a|-|b|\,\right|$

är ekvivalent med att

$(a-b)^2 \ge (|a|-|b|)^2$

När man nu utvecklar kvadraterna och subtraherar termer som finns på båda leden, så fås

$-2ab \ge -2|ab|$,

vilket i sin tur är ekvivalent med

$ab \le |ab|$,

vilket är sant för alla reella tal $a$ och $b$

Aha, just det!

Jätte bra förklaring, tack så jätte mycket!

Men hur fick du dem värderna när du kvaderade dem?

För reella tal är $|x|^2 = x^2$, så $(|a-b|)^2 = (a-b)^2$ och analogt i högerledet. Kvadreringsregeln ger sedan att

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, respektive

$(|a|-|b|)^2 = |a|^2 - 2|a|\cdot|b|+|b|^2 = a^2 - 2|ab| + b^2$

LuMa07 skrev:

För reella tal är $|x|^2 = x^2$, så $(|a-b|)^2 = (a-b)^2$ och analogt i högerledet. Kvadreringsregeln ger sedan att

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, respektive

$(|a|-|b|)^2 = |a|^2 - 2|a|\cdot|b|+|b|^2 = a^2 - 2|ab| + b^2$

Jo, eftersom x^2 aldrig kan bli ett negativt värde för reela tal gör absolut beloppet ingenting och det är okej att stryka a^2 och b^2 även om de befinner sig inom ett absolutbelopp.

Tack så mycket! :)