Bevisa Additionsformeln för sin

Jag skulle utgå från ovanstående formel för cosinus för att bevisa motstsvarande formel för sinus

$$\begin{gathered} \sin (u-v)=\cos (\frac{\mathrm{\pi }}{2}-(u-v\left)\right)=\cos \left(\right(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+v)-u)=\cos (\frac{\mathrm{\pi }}{2}+v)\cos \left(u\right)+ \\ \sin (\frac{\mathrm{\pi }}{2}+v)\sin \left(u\right)=-\sin \left(v\right)\cos \left(u\right)+\cos \left(v\right)\sin \left(u\right)= \\ \sin \left(u\right)\cos \left(v\right)-\sin \left(v\right)\cos \left(u\right) \end{gathered}$$

Jag hade personligen använt Eulers formel.

Kan man också bevisa det med Eulers fomel? Kan du lära mig? 

Cosinus $\cos x$ är realdelen av $e^{ix}$ så $\cos (u - v)$ är realdelen av $e^{i(u - v)}$

Därefter är allt man behöver göra att använda potenslagarna och skriva om med $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ och multiplikation av parenteser

$e^{i(u - v)} = e^{iu}e^{-iv} = (\cos u + i \sin u)(\cos(-v) + i \sin(-v)) =  (\cos u + i \sin v)(\cos(v) - i \sin(v))$

sista steget kan du göra. Utveckla parentesen och samla ihop de reella termerna och de imaginära termerna var för sig

$(...) + i(...)$

henrikus skrev:

Jag skulle utgå från ovanstående formel för cosinus för att bevisa motstsvarande formel för sinus

$$\begin{gathered} \sin (u-v)=\cos (\frac{\mathrm{\pi }}{2}-(u-v\left)\right)=\cos \left(\right(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+v)-u)=\cos (\frac{\mathrm{\pi }}{2}+v)\cos \left(u\right)+ \\ \sin (\frac{\mathrm{\pi }}{2}+v)\sin \left(u\right)=-\sin \left(v\right)\cos \left(u\right)+\cos \left(v\right)\sin \left(u\right)= \\ \sin \left(u\right)\cos \left(v\right)-\sin \left(v\right)\cos \left(u\right) \end{gathered}$$

$\cos (\frac{\mathrm{\pi }}{2}+v)=-\sin \left(v\right) ???$

SeriousCephalopod skrev:

Cosinus $\cos x$ är realdelen av $e^{ix}$ så $\cos (u - v)$ är realdelen av $e^{i(u - v)}$

Därefter är allt man behöver göra att använda potenslagarna och skriva om med $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ och multiplikation av parenteser

$e^{i(u - v)} = e^{iu}e^{-iv} = (\cos u + i \sin u)(\cos(-v) + i \sin(-v)) =  (\cos u + i \sin v)(\cos(v) - i \sin(v))$

sista steget kan du göra. Utveckla parentesen och samla ihop de reella termerna och de imaginära termerna var för sig

$(...) + i(...)$

Så det betyder: 

$\cos (u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$

Och $\sin (u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$

Ja.