1 svar
75 visningar
RandigaFlugan är nöjd med hjälpen
RandigaFlugan 172
Postad: 15 okt 2020 11:42

Bevisa att √3 är ett irrationellt tal

Goddag, damer och herrar. 

Jag vet ej hur jag skall fortsätta i mitt bevis. 

Beviset:

Påstående P: √3 är ett irrationellt tal. 

Skall använda mig av ett motsägelse bevis: √3 är ett rationellt tal. Om √3 är ett rationellt tal, skall den kunna skrivas på formen a/b där a och b ej innehåller några gemensamma faktorer. 

Antagande A: √3 = a/b.

√3 = a/b  => (√3)² = (a/b)²  => 3 = a²/b²  => 3b² = a². Detta medför att a² är ett udda tal genom att faktorn tre ingår i vänsterdet. Således kan a² omskrivas till (2n + 1)². 

3b² = (2n + 1)². Såsom a², kan 3b² omskrivas till 3(2m + 1)². 3(2m + 1)² = (2n + 1)².

3(2m + 1)(2m + 1) = (2n + 1)(2n + 1) 

√3 = a/b =(2n + 1)(2n + 1)/3(2m + 1)(2m +1). 

Hur ska jag tänka nu? 

anlin 7
Postad: 15 okt 2020 12:06

Hej!

För det första stämmer det tyvärr inte att a måste vara ett udda tal. Hade 3:an i vänsterledet varit en 2:a hade a behövt vara jämnt, men så är ju inte fallet.

Du behöver därför lägga till en sak i ditt antagande: att a/b är förkortat så långt som möjligt. Därefter får du dela upp det i två fall: att b är udda respektive b är jämnt.

Om b är udda, är även b2 udda, och således även 3b2. Eftersom 3b2= a2 är därmed även a udda. Med det överstökat har vi kommit ikapp ditt resonemang. Som du konstaterat har vi

3(2m+1)2=(n+1)2

vilket kan expanderas till

12m2+12m+3=4n2+4n+1

och om vi flyttar runt, bryter ut 4 och förkortar båda led med 2 får vi

4(3m2+3m)=4(n2+4n)+1-3

4(3m2+3m)=4(n2+4n)-2

2(3m2+3m)=2(n2+4n)-1.

Nu är ju vänsterledet ett jämnt tal oavsett vad m är, och högerledet är ett udda tal oavsett vad n är. Omöjligt! Antagandet måste vara felaktigt.

Vad händer sen om du antar att b är udda?

Svara Avbryt
Close