5 svar
130 visningar
Kanelbullen behöver inte mer hjälp
Kanelbullen 356
Postad: 28 jan 2021 12:43 Redigerad: 28 jan 2021 12:44

Bevisa att aritmetiskt medelvärde är lika med eller större än geometriskt medelvärde

Hej!

Vi har fått i uppgift att bevisa att a+b+c+d4abcd4      för a,b,c,d >0

 och därefter att a+b+c3abc3   för a,b,c >0. Det är särskilt A(a,b,c)G(a,b,c)     om a,b,c>0

som jag behöver hjälp med.

Jag vet att A(a,b) G(a,b)  för a,b >0,

alltså att a+b2ab vilket kallas "den Aritmetisk-Geometriska olikheten" och beror på att det går att bevisa att A(a,b)-G(a,b)0.

 

Nedan visar jag hur jag gör jag för att bevisa a+b+c+d4abcd4. Har jag tänkt rätt? Kommentera gärna!

Jag använder att  a+b2ab och noterar att

u=a+b2ab samt v=c+d2cd     u+v2uv.

Detta innebär att

u+v2=a+b2+c+d22=a+b+c+d4 och att

uv=a+b2·c+d2ab·cd=abcd=abcd4,

så a+b+c+d4abcd4  VSB.

Nu vill jag även bevisa att

a+b+c3abc3   för a,b,c>0.   Jag använder det tidigare beviset ovan och väljer att d=a+b+c3. Då har jag två uttryck att jobba vidare med.

Dessa båda uttryck har jag:

a+b+c+a+b+c34      och      abc(a+b+c3)4.

Om a+b+c3 vore d så skulle VLHL.

Hur kommer jag vidare?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 28 jan 2021 12:53

Har du redan bevisat  "den Aritmetisk-Geometriska olikheten", eller står det i uppgiften att man får lov att använda den utan att bevisa den?

Kanelbullen 356
Postad: 28 jan 2021 13:03 Redigerad: 28 jan 2021 13:04

Den aritmetisk-geometriska olikheten har vi gått igenom på (inspelad) föreläsning och den får vi använda oss av. Jag skrev inte ut den, men har antecknat:

A(a,b)-G(a,b)=a+b2 -ab=12(a+b-2ab)    

Andra kvadreringsregeln ger:

12((a)2+(b)2-2ab)=12(a-b)2.

Ett kvadrerat uttryck är garanterat positivt!

Så, A(a,b)-G(a,b) 0

vilket medför att A(a,b)G(a,b).

Kanelbullen 356
Postad: 29 jan 2021 19:07

Nu har jag förstått att 

VL=a+b+c+(a+b+c3)4=a+b+c+a3+b3+c34=4a3+4b3+4c34=4(a+b+c)3·14=a+b+c3

Är det nu så att HL=abc(a+b+c)34 = .......... ?  ......abc3

så vore det ju toppen.

Men jag går bet på att räkna ut det.

Tar tacksamt emot mera vägledning på denna uppgift.

Kanelbullen 356
Postad: 1 feb 2021 21:47

Nu vet jag hur man bevisar olikheten a+b+c3abc3.

Jag har fått vägledning på annat håll som jag vill dela med mig av här:

Vi har redan bevisat olikheten a+b+c+d4abcd4.

Se ovan.

Nu sätter vi in  d=a+b+c3i den olikheten och får a+b+c+(a+b+c3)4abc(a+b+c34) . 

Då har vi att VL=a+b+c3eftersom a+b+c+(a+b+c3)4=a+b+c3.

a+b+c3abc(a+b+c34)kan omformas till:

(a+b+c3)4abc(a+b+c3), efter att vi höjt upp båda led till 4.

(a+b+c3)3abc, efter att vi delat båda led med (a+b+c3),och slutligen har vi

(a+b+c3)abc3, VSB.

Smutsmunnen 1048
Postad: 2 feb 2021 22:22

Funkar även att sätta 

d=abc3

och sedan förenkla:

a+b+c+abc34abcabc34a+b+c+abc34abc3 a+b+c+abc34abc3a+b+c3abc3

Svara
Close