17 svar
222 visningar
Lisa Mårtensson är nöjd med hjälpen!
Lisa Mårtensson 602
Postad: 12 mar 2019

Bevisa att ekvationen inte har några heltalslösningar

Jag har polynomekvationen

x^4-32x^2+9=0

och ska finna heltalslösningar. Jag misstänker att det inte finns några heltalslösningar (efter att ha testat med flera heltal).

Hur kan jag bevisa att inga heltalslösningar finns till ekvationen?

HT-Borås 1560
Postad: 12 mar 2019

Du kan försöka lösa ekvationen och se vad x blir.

Gör substitutionen t=x2t=x^2. Då får du en andragradsekvation.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 12 mar 2019

Ja, det är klart jag ska göra en substitution.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 13 mar 2019 Redigerad: 13 mar 2019

HT-Borås 1560
Postad: 13 mar 2019

Du ska inte byta tecken på nian. 256 - 9 = 247.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 13 mar 2019

Nu har jag rättat felen.

Yngve 11701 – Mattecentrum-volontär
Postad: 13 mar 2019 Redigerad: 13 mar 2019
Lisa Mårtensson skrev:

Nu har jag rättat felen.

OK bra.

Nu återstår bara att substituera tillbaka till x och visa att lösningarna inte är heltal.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 13 mar 2019

Verkar detta rimligt?

Yngve 11701 – Mattecentrum-volontär
Postad: 13 mar 2019 Redigerad: 13 mar 2019
Lisa Mårtensson skrev:

Verkar detta rimligt?

Nej det stämmer inte.

Om x2=16±247x^2=16\pm\sqrt{247} så är x=±16±247x=\pm\sqrt{16\pm\sqrt{247}}.

Om nu 24715.716\sqrt{247}\approx 15.716 så är

x±16±15.716x\approx\pm\sqrt{16\pm 15.716}

Detta är inte samma sak som det du har skrivit.

SeriousCephalopod 1809
Postad: 13 mar 2019

Rationella rotsatsen säger att de enda heltalen som kan vara lösningar är delarna till 9, dvs -1,-3,-9, 1, 3, 9

Har man kontrollerat de 6 talen så har man uteslutit alla heltal. 

Lisa Mårtensson 602
Postad: 13 mar 2019 Redigerad: 13 mar 2019

Nej, jag ser ju att jag gjort helt fel. Ärligt talat skrev jag så som du skriver först. Det är ju tydligt att det ska vara så.

Räcker det som du skrev för att visa att det inte finns några heltslslösningar eller tycker du att man ska presentera alla fyra lösningarna?

Lisa Mårtensson skrev:

Nej, jag ser ju att jag gjort helt fel. Ärligt talat skrev jag så som du skriver först. Det är ju tydligt att det ska vara så.

Räcker det som du skrev för att visa att det inte finns några heltslslösningar eller tycker du att man ska presentera alla fyra lösningarna?

Presentera alla fyra. Men det räcker med närmevärden.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 14 mar 2019

Länk till rationella rotsatsen:

https://www2.math.su.se/~joeb/public/algokomb/extra/rationellarotter.pdf

Lisa Mårtensson 602
Postad: 14 mar 2019

q måste vara 1 eller -1. p måste vara 1, -1, 3, -3, 9, eller -9.

Albiki 3970
Postad: 14 mar 2019 Redigerad: 14 mar 2019

Hej!

En kvadratkomplettering av andragradspolynomet i x2x^2 ger polynomet

    (x2-16)2-247.(x^2-16)^2-247.

Detta är lika med noll för tal xx som uppfyller

    (x2-16)2=247=13·19.(x^2-16)^2 = 247 = 13\cdot 19.

Detta visar att xx kan inte vara ett jämnt tal eftersom 13 och 19 är inte delbara med 16. Den enda återstående möjligheten för xx att vara heltal är om xx är ett udda tal, men inte heller detta är möjligt eftersom då är (x2-16)2(x^2-16)^2 inte delbart med varken 13 eller med 19 då det kan skrivas som 8m+18m+1 där mm är ett heltal.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 14 mar 2019

Bra förklarat Albiki, jag hänger med :-)

Lisa Mårtensson 602
Postad: 14 mar 2019 Redigerad: 14 mar 2019

Lösningarna är att x är ungefär:

-5,632

-0,533

0,533

5,632

Bild av grafens nollställen, det aktuella fjärdegradspolynomets rötter:

Svara Avbryt
Close