Bevisa att flervariabel funktion har global max/min

Hej, i den här uppgiften ska man visa om f(x,y) har en global minimum och/eller maximum värde. Det är enkelt att visa att den inte har ett maximum, då man tar:
$\lim_{t \to - \infty} f (t, t) = \infty$

Men hur kan man visa att det finns ett minsta värde? Tror om man kan visa att funktionen har en övre gräns kan man bara kolla de stationära punkterna.

Har försökt med polära koordinater men det verkar inte underlätta uppgiften. Kan inte komma på en kompakt mängd som underlättar uppgiften heller.

Tack för hjälp!

Hej!

För minimum, notera att $x^{2}+xy+y^{2} = (x+\frac{y}{2})^{2} + \frac{3y^{2}}{4} \geq 0$ för alla $x,y \in \mathbb{R}$ . Likaså är $e^{-x-2y} > 0$ för alla $x,y \in \mathbb{R}$ . OK?

Ja det är vettigt, tänkte inte på att göra kvadratkomplettering här. Tackar

Svara