Bevisa att momentet M_l är oberoende av momentpunkten på en axel

Det finns många sätt att angripa den här uppgiften. Jag tror det vore bäst om du kollar lite i din kurslitteratur och försöker påbörja ett bevis som ligger i linje med din kurs och sedan visar dina försök. Då har vi något att bygga vidare på.

Om du absolut inte vet var du ska börja och det inte står något i boken kan du använda den skalära trippelprodukten

D4NIEL skrev:

Det finns många sätt att angripa den här uppgiften. Jag tror det vore bäst om du kollar lite i din kurslitteratur och försöker påbörja ett bevis som ligger i linje med din kurs och sedan visar dina försök. Då har vi något att bygga vidare på.

Om du absolut inte vet var du ska börja och det inte står något i boken kan du använda den skalära trippelprodukten

Visa spoiler

 En godtycklig momentpunkt på axeln kan tecknas som $\mathbf{r}\left(t\right)=\mathbf{P}+t\hat{\lambda}$ (linjens ekvation på parameterform), där $\hat{\lambda}$ vara en enhetsvektor i axelns riktning.

Momentet i punkten $\mathbf{r}\left(t\right)$ (godtycklig punkt på axeln) från kraften $\mathbf{F}$ som angriper i A ges då av

$M=(A-\mathbf{r}(t))\times \mathbf{F}$

Momentet kring axeln är därmed

$M_\lambda=\hat{\lambda}\cdot M=\hat{\lambda}\cdot ((A-\mathbf{r}\left(t\right))\times \mathbf{F})$

Visa att uttrycket är oberoende av $t$ mha den skalära trippelprodukten, $\mathbf{a}\cdot( \mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{c}\cdot( \mathbf{a}\times \mathbf{b})$.

Det finns faktiskt ett bevis taget ur boken, jag antar att man ska memorera den då och hitta på egna punkter som liknar som de gör.  Såhär lyder den i alla fall. Jag har dock lite frågor gällande hur man vet att tex rpa=rpq+rAQ? För mig låtet det mer som att RAQ=RPQ+RPA. Sen undrar jag varför Momenterna map P och Q ser ut att vara vinkelräta med e_lambda?

Ja, det viktiga att komma ihåg är att kryssprodukten av två parallella vektorer är 0. Det enda som skiljer två momentpunkter åt är en förflyttning utmed axeln och förändringen av den förflyttningen kan man visa blir 0 i momentberäkningens slutresultat. Orsaken är egentligen att man beräknar en "determinant".

När det gäller beteckningarna i triangeln är den första bokstaven var man börjar och den andra bokstaven var man slutar.

$r_{pq}$ = Börja i $p$ sluta i $q$

$r_{pa}$ = Börja i $p$, sluta i $a$

Ett annat sätt att ta sig från p till a kan vara att man startar i p och mellanlandar  i q, dvs  $\mathbf{r}_{pq}$.  Sedan går man vidare från q till a, $\mathbf{r}_{qa}$. Då har man ju sammanlagt gått från p till a enligt vägen:

$\mathbf{r}_{pa}=\mathbf{r}_{pq}+\mathbf{r}_{qa}$

Du kan alltså gå från punkt till punkt och se att det stämmer i triangeln. Du kan också gå och åt andra hållet, vilket till exempel betyder att

$\mathbf{r}_{pa}=-\mathbf{r}_{ap}$

Slutligen, eftersom $\mathbf{r}_{pq}$ är helt parallell med $\mathbf{e}_\lambda$ och kryssprodukten per definition är vinkelrät mot de två vektorer man kryssar måste alltså varje kryssprodukt som innehåller $\mathbf{r}_{pq}$ vara vinkelrät mot $\mathbf{e}_\lambda$

D4NIEL skrev:

Ja, det viktiga att komma ihåg är att kryssprodukten av två parallella vektorer är 0. Det enda som skiljer två momentpunkter åt är en förflyttning utmed axeln och förändringen av den förflyttningen kan man visa blir 0 i momentberäkningens slutresultat. Orsaken är egentligen att man beräknar en "determinant".

När det gäller beteckningarna i triangeln är den första bokstaven var man börjar och den andra bokstaven var man slutar.

$r_{pq}$ = Börja i $p$ sluta i $q$

$r_{pa}$ = Börja i $p$, sluta i $a$

Ett annat sätt att ta sig från p till a kan vara att man startar i p och mellanlandar  i q, dvs  $\mathbf{r}_{pq}$.  Sedan går man vidare från q till a, $\mathbf{r}_{qa}$. Då har man ju sammanlagt gått från p till a enligt vägen:

$\mathbf{r}_{pa}=\mathbf{r}_{pq}+\mathbf{r}_{qa}$

Du kan alltså gå från punkt till punkt och se att det stämmer i triangeln. Du kan också gå och åt andra hållet, vilket till exempel betyder att

$\mathbf{r}_{pa}=-\mathbf{r}_{ap}$

Slutligen, eftersom $\mathbf{r}_{pq}$ är helt parallell med $\mathbf{e}_\lambda$ och kryssprodukten per definition är vinkelrät mot de två vektorer man kryssar måste alltså varje kryssprodukt som innehåller $\mathbf{r}_{pq}$ vara vinkelrät mot $\mathbf{e}_\lambda$

Tack! Men jag förstår dock inte hur kryssprodukten av Rpq och F gör att det blir 0 när man tar skalärprodukten av e_lambda? Jag förstår att rpq är parallell med e_lambda 

Det beror på att den röda vektorprodukten $w=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ är vinkelrät mot både $\mathbf{a}$ och $\mathbf{b}$

I exemplet är du med på att $\mathbf{r}_{pq}$ är parallell med $\mathbf{e}_{\lambda}$. Om du jämför med bilden ovan vet du också att kryssprodukten $w=\mathbf{r}_{pq} \times \mathbf{F}$ är vinkelrät mot både $\mathbf{r}_{pq}$ och $\mathbf{F}$.

Att $\mathbf{r}_{pq}$ och kryssprodukten $w$ är vinkelräta mot varandra betyder att skalärprodukten mellan dem är noll. Matematiskt kan man skriva det så här

$\mathbf{r}_{pq} \cdot (\mathbf{r}_{pq} \times \mathbf{F})=0$

Men eftersom $\mathbf{r}_{pq}$ är parallell med $\mathbf{e}_{\lambda}$ måste det därmed gälla att

$\mathbf{e}_\lambda\cdot (\mathbf{r}_{pq} \times \mathbf{F})=0$

Är du med på hur det hänger ihop?

D4NIEL skrev:

Det beror på att den röda vektorprodukten $w=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ är vinkelrät mot både $\mathbf{a}$ och $\mathbf{b}$

I exemplet är du med på att $\mathbf{r}_{pq}$ är parallell med $\mathbf{e}_{\lambda}$. Om du jämför med bilden ovan vet du också att kryssprodukten $w=\mathbf{r}_{pq} \times \mathbf{F}$ är vinkelrät mot både $\mathbf{r}_{pq}$ och $\mathbf{F}$.

Att $\mathbf{r}_{pq}$ och kryssprodukten $w$ är vinkelräta mot varandra betyder att skalärprodukten mellan dem är noll. Matematiskt kan man skriva det så här

$\mathbf{r}_{pq} \cdot (\mathbf{r}_{pq} \times \mathbf{F})=0$

Men eftersom $\mathbf{r}_{pq}$ är parallell med $\mathbf{e}_{\lambda}$ måste det därmed gälla att

$\mathbf{e}_\lambda\cdot (\mathbf{r}_{pq} \times \mathbf{F})=0$

Är du med på hur det hänger ihop?

Jag förstår att skalärprodukten mellan r_pq och w blir noll då r_pq och w är vinkelräta. Men hur det där sista blir 0 ser jag inte framför mig. Jag antar att det ska vara så för att e_lambda är tex skalären av r_pq  (säg att r_pq är (1,1,1) och e_lambda är (2,2,2))  och då måste det vara 0?