Bevisa att n^3-n är delbart med 3

Börja med att försöka bryta ut saker. Kolla sedan om du kan bryta ut ytterligare saker.

Faktorisera uttrycket så långt som möjligt.

$$\begin{gathered} n^3-n \\ n(n^2-1) \end{gathered}$$

Dkcre skrev:

$$\begin{gathered} n^3-n \\ n(n^2-1) \end{gathered}$$

Påminner $n^2 - 1$ dig om någon regel med faktorisering?

AlexMu skrev:

Dkcre skrev:

$$\begin{gathered} n^3-n \\ n(n^2-1) \end{gathered}$$

Påminner $n^2 - 1$ dig om någon regel med faktorisering?

Nja.

Eller ja kanske!

n(n-1)(n+1)

Dkcre skrev:

AlexMu skrev:

Visa föregående citat

Dkcre skrev:

$$\begin{gathered} n^3-n \\ n(n^2-1) \end{gathered}$$

Påminner $n^2 - 1$ dig om någon regel med faktorisering?

Nja.

Eller ja kanske!

n(n-1)(n+1)

Precis så! Om vi skriver det som $(n-1)n(n+1)$ ser vi att vi har tre på varandra följande tal. Vad innebär det?

Vad duktiga ni är.

Ja.. Jag vet att 2st multiplicerade alltid är delbart med 2 men.. Jag kan inte förklara varför 3 tal på rad skulle gå att dividera med 3

Dkcre skrev:

Vad duktiga ni är.

Ja.. Jag vet att 2st multiplicerade alltid är delbart med 2 men.. Jag kan inte förklara varför 3 tal på rad skulle gå att dividera med 3

Iden att skriva jämna tal som $2k$ och udda tal som $2k+1$ kan generaliseras. För tre kan man tänka sig att man kan skriva tal delbara med 3 som $3k$, tal ett mer än en multipel av 3 som $3k+1$ och tal 2 mer än en multipel av 3 som $3k+2$ (Tänk på varför detta stämmer)
Exempelvis: $17 = 3 \cdot 5 + 2$, $127 = 3\cdot 42 +1$ 
Kan detta hjälpa?

Ja, det hjälper. Det är lite knivigt tycker jag men förstår.

Tack.

Dkcre skrev:

Ja, det hjälper. Det är lite knivigt tycker jag men förstår.

 

Tack.

Ett annat, mer intuitivt argument kan vara att var tredje tal är delbar med 3. Så om vi har tre tal som följer på varandra måste en av dem vara delbar med 3

Jo, och då.. följer det med en faktor av 3 om man multiplicerar det talet med två andra tal. Så dividerbarheten följer med för evigt eftersom talet är inbakat där

Dkcre skrev:

Jo, och då.. följer det med en faktor av 3 om man multiplicerar det talet med två andra tal. Så dividerbarheten följer med för evigt eftersom talet är inbakat där

Ja, det stämmer.