Bevisa att n^3-n är delbart med 6

Min påbörjade lösning:

$$\begin{gathered} n^3-n=n(n^2-1)=n(n+1)(n-1) \\ 3 på varandra följande heltal är alltid delbara med 3 och 2, \\ vilket medför att de också är delbara med 6. \\ Om n är udda betyder det att de två andra heltalen (n-1 och n+1) \\ är jämna och delbara med 2 vardera. Fortfarande så gäller det att \\ ett av de tre på varandra följande heltalen är delbara med 3. \\ 2\times 2\times 3=12 \\ 24 är inte delbart med 12. \\ Dock inser jag med induktion att 24 är delbart \\ med talet om n är udda. \\ n=1 \to n^3-n=0 \\ n=3\to n^3-n=24 \\ n=5\to n^3-n=120 \\ Alla är delbara med 24. \\ Hur bevisar jag det här generellt? Tack på förhand \end{gathered}$$