16 svar
155 visningar
tindra03 är nöjd med hjälpen
tindra03 323
Postad: 12 nov 2020 09:15

Bevisa att n³-n är delbart med 3

Hej!

Jag har kommit en liten bit på vägen i och har kunnat bevisa ex. ”Om n är delbart med 3 så är n^3-n det också osv.” Men jag har lite problem med att bevisa det generella fallet som alltid gäller. Jag tänker lite på att eventuellt ersätta n med något, men jag vet inte riktigt vad. n=2x exempelvis funkar ju inte eftersom n kan vara udda..

 

tindra03 323
Postad: 12 nov 2020 09:26

Jag kom vidare med att säga att ett tal är delbart med 3 om summan av talets siffersummor är delbart med 3

emilg 440
Postad: 12 nov 2020 09:31

Det ska nog räcka med att faktorisera uttrycket, vad får du då?

emilg 440
Postad: 12 nov 2020 09:32
tindra03 skrev:

Jag kom vidare med att säga att ett tal är delbart med 3 om summan av talets siffersummor är delbart med 3

Hur kom du vidare med det? Ser inget uppenbart.

tindra03 323
Postad: 12 nov 2020 09:36

Jag vet inte.. Det finns ju tre fall på n. Antingen är n delbart med 3, n+1 delbart med 3 eller n-1 delbart med 3.

tindra03 323
Postad: 12 nov 2020 09:36

Jag får n(n^2-1) om jag faktoriserar

emilg 440
Postad: 12 nov 2020 09:39
tindra03 skrev:

Jag får n(n^2-1) om jag faktoriserar

Det går att faktorisera lite till...

emilg 440
Postad: 12 nov 2020 09:41
tindra03 skrev:

Jag vet inte.. Det finns ju tre fall på n. Antingen är n delbart med 3, n+1 delbart med 3 eller n-1 delbart med 3.

Jo det är ju sant, men vad har det med siffersumman att göra? (jag kanske missar något uppenbart)

SvanteR 2414
Postad: 12 nov 2020 09:43
tindra03 skrev:

Jag vet inte.. Det finns ju tre fall på n. Antingen är n delbart med 3, n+1 delbart med 3 eller n-1 delbart med 3.

Detta är rätt väg! Om n-1 är delbart med 3 så kan man skriva att n-1 = 3m, där m är ett heltal. Då blir n = 3m+1. Vad får du om du stoppar in det i ditt ursprungliga uttryck?

Mohammad Abdalla 413
Postad: 12 nov 2020 09:56 Redigerad: 12 nov 2020 10:00

Hej!

För att du ska bevisa det så måste du göra det i två steg

Steg 1 : Att bevisa att påståendet stämmer när n=0

03-0=0 och 0 är delbart med 3

Steg 2 :

Vi ska bevisa följande "Om påståendet stämmer för k stämmer påståendet för k+1"

Det betyder att man ska bevisa att påståendet stämmer när n =k+1 om påståendet stämmer när n =k

Det betyder att vi ska bevisa att (k+1)3 - (k+1) är delbart med 3 om k3-k är delbart med 3

(k+1)3-(k+1) =k3+3k2+3k +1-k-1 =k3-k +3k2+3kVi vet att k3-k är delbart med 3, vilket gör att k3-k=3m (k+1)3-(k+1) =3m +3k2+3k =3(m+k2+k)Detta betyder att (k+1)3-(k+1) är delbart med 3 för att vi skrev det som 3 gånger någonting

Vi har bevisat Steg 1 och Steg 2, vilket betyder att påståendet stämmer.

Oobs: Jag vet inte vad den här metoden heter på svenska

Mvh

joculator 3642 – F.d. Moderator
Postad: 12 nov 2020 10:13

Jag skulle tveka på att använda 0 i steg 1 när det står i uppgiften att talet skall vara >0
Men det går ju bra att använda t.ex 2 istället.

Alternativ lösning:
n3-n=n(n2-1)=n(n-1)(n+1)
Vi har alltså 3 på varandra förjande tal. För dessa gäller att minst ett av dem är delbart med 3 (eftersom vart tredje heltal är delbart med 3).
Alltså kommer n(n-1)(n+1) också vara delbart med 3

Mohammad Abdalla 413
Postad: 12 nov 2020 10:19
joculator skrev:

Jag skulle tveka på att använda 0 i steg 1 när det står i uppgiften att talet skall vara >0
Men det går ju bra att använda t.ex 2 istället.

Alternativ lösning:
n3-n=n(n2-1)=n(n-1)(n+1)
Vi har alltså 3 på varandra förjande tal. För dessa gäller att minst ett av dem är delbart med 3 (eftersom vart tredje heltal är delbart med 3).
Alltså kommer n(n-1)(n+1) också vara delbart med 3

Det står i uppgiften 0 då måste man börja med n=0

joculator 3642 – F.d. Moderator
Postad: 12 nov 2020 10:36 Redigerad: 12 nov 2020 10:37

Slarv av mig. Jag läste >0

Edit: Man måste inte börja med 0 men man kan.

emilg 440
Postad: 12 nov 2020 10:45
Mohammad Abdalla skrev:

Oobs: Jag vet inte vad den här metoden heter på svenska

Metoden är induktion. Men det lärs inte ut förrän i matematik 5 så det är tyvärr ingen lämplig metod i matematik 4.

Mohammad Abdalla 413
Postad: 12 nov 2020 10:47
joculator skrev:

Slarv av mig. Jag läste >0

Edit: Man måste inte börja med 0 men man kan.

Hej!

Om man börjar med n=3 så måste man bevisa att påståendet stämmer när n=0 och n=1 och n=2.

Börjar man med n=0 så behöver man inte bevisa för något annat tal.

Mvh

Randyyy 418
Postad: 12 nov 2020 10:50 Redigerad: 12 nov 2020 10:51

Det två lösningarna jag ser framför mig är faktorisering eller induktion. Både finns i tråden så välj den du föredrar.

tindra03 323
Postad: 12 nov 2020 22:12

Tack så supermycket allihop för många fina svar! Jag löste uppgiften nu!

Svara Avbryt
Close