5 svar
108 visningar
lund 296
Postad: 7 sep 2020 22:19 Redigerad: 7 sep 2020 22:20

Bevisa att transformationen är linjär

Hej,

Jag har löst nedanstående fråga och skulle behöva hjälp med om min uträkning är tillräckligt för att svaret ska vara korrekt.

Jag började med att ta fram ett uttryck för dessa i a1 och a2 med hjälp av T(1,1)=(1,0,2) och T(2,3)=(1,-1,4) och fick fram att T(a1,a2)=(2a1-a2, a1-a2, 2a1) vilket borde ge att T(8,11) är (5, -3, 16).

Sedan bevisade jag att den är linjär genom att sätta a=(a1,a2) och b=(b1,b2) och satte sedan in dessa i T(αa+βb) och αT(a)+βT(b) och visade att dessa vara lika med varandra.

Men jag undrar såhär i efterhand om det är tillräckligt hur jag tog fram det första uttrycket eller om jag behöver räkna" fram det?

Om någonting är otydligt i min text så hojta till så kan jag försöka att förklara det på ett bättre sätt.

Tack på förhand!

Albiki 5320
Postad: 8 sep 2020 00:57 Redigerad: 8 sep 2020 00:58

Hej,

Du redovisar inte hur T(a1,a2)T(a_1,a_2) blir det som du skriver. 

Jag antar att TT är en linjär avbildning och ser om detta stämmer överens med givna data.

Man kan skriva vektorn (0,1)(0,1) som linjärkombinationen (2,3)-2(1,1)(2,3)-2(1,1) och vektorn (1,0)(1,0) som linjärkombinationen 3(1,1)-(2,3)3(1,1)-(2,3) vilket betyder att

    T(0,1)=T(2,3)-2T(1,1)=(-1,-1,0)T(0,1) = T(2,3)-2T(1,1) = (-1,-1,0)

och

    T(1,0)=3T(1,1)-T(2,3)=(2,1,2).T(1,0) = 3T(1,1)-T(2,3) =(2,1,2).

Avbildningen TT är fullständigt specificerad nu när man vet hur den hanterar basvektorerna (1,0)(1,0) och (0,1).(0,1).

Vektorn (8,11)(8,11) skrivs som linjärkombinationen 8(1,0)+11(0,1)8(1,0)+11(0,1) och denna avbildas därför av TT på vektorn

    T(8,11)=8(2,1,2)+11(-1,-1,0)=(5,-3,16).T(8,11)=8(2,1,2)+11(-1,-1,0) =(5,-3,16).

lund 296
Postad: 8 sep 2020 01:34
Albiki skrev:

Hej,

Du redovisar inte hur T(a1,a2)T(a_1,a_2) blir det som du skriver. 

Jag antar att TT är en linjär avbildning och ser om detta stämmer överens med givna data.

Man kan skriva vektorn (0,1)(0,1) som linjärkombinationen (2,3)-2(1,1)(2,3)-2(1,1) och vektorn (1,0)(1,0) som linjärkombinationen 3(1,1)-(2,3)3(1,1)-(2,3) vilket betyder att

    T(0,1)=T(2,3)-2T(1,1)=(-1,-1,0)T(0,1) = T(2,3)-2T(1,1) = (-1,-1,0)

och

    T(1,0)=3T(1,1)-T(2,3)=(2,1,2).T(1,0) = 3T(1,1)-T(2,3) =(2,1,2).

Avbildningen TT är fullständigt specificerad nu när man vet hur den hanterar basvektorerna (1,0)(1,0) och (0,1).(0,1).

Vektorn (8,11)(8,11) skrivs som linjärkombinationen 8(1,0)+11(0,1)8(1,0)+11(0,1) och denna avbildas därför av TT på vektorn

    T(8,11)=8(2,1,2)+11(-1,-1,0)=(5,-3,16).T(8,11)=8(2,1,2)+11(-1,-1,0) =(5,-3,16).

Stort tack Albiki, ska använda mig utav denna metod härefter istället för att ta fram ett uttryck för T(a1a2).

Jag har bara en ytterligare fråga, om jag gör på ditt sätt och ska bevisa att det är en linjär avbildning, hur gör jag då? Eller är det som du skrivit tillräckligt för ett bevis? Jag har nämligen precis påbörjat denna kurs och försöker förstå hur man visar att en transformation är linjär.

oggih 871 – F.d. Moderator
Postad: 8 sep 2020 09:04 Redigerad: 8 sep 2020 09:10

Argumentet som du skissar i ursprungsposten fungerar utmärkt!

Men, du behöver förklara hur du kom fram till formeln T(x1,x2)=(2x1-x2,x1-x2,2x1)T(x_1,x_2)=(2x_1-x_2,x_1-x_2, 2x_1) [jag tycker det är bättre att använda xx för inputen i funktionen, så att risken minskar att du blandar ihop det med α\alpha och β\beta sen när du kollar linjäriteten, men det är en smaksak!].

Även om du bara provade dig fram (vilket är helt okej!) så är det bra att skriva ut det i lösningen.

oggih 871 – F.d. Moderator
Postad: 8 sep 2020 09:35 Redigerad: 8 sep 2020 09:48

Och Albikis lösning är också bra! Det enda som saknas där - och som du behöver fylla i själv - är varför det följer av Albikis resonemang att det faktiskt existerar en linjär avbildning med de önskade egenskaperna...

Albiki 5320
Postad: 8 sep 2020 11:38
lund skrev:
Albiki skrev:

Hej,

Du redovisar inte hur T(a1,a2)T(a_1,a_2) blir det som du skriver. 

Jag antar att TT är en linjär avbildning och ser om detta stämmer överens med givna data.

Man kan skriva vektorn (0,1)(0,1) som linjärkombinationen (2,3)-2(1,1)(2,3)-2(1,1) och vektorn (1,0)(1,0) som linjärkombinationen 3(1,1)-(2,3)3(1,1)-(2,3) vilket betyder att

    T(0,1)=T(2,3)-2T(1,1)=(-1,-1,0)T(0,1) = T(2,3)-2T(1,1) = (-1,-1,0)

och

    T(1,0)=3T(1,1)-T(2,3)=(2,1,2).T(1,0) = 3T(1,1)-T(2,3) =(2,1,2).

Avbildningen TT är fullständigt specificerad nu när man vet hur den hanterar basvektorerna (1,0)(1,0) och (0,1).(0,1).

Vektorn (8,11)(8,11) skrivs som linjärkombinationen 8(1,0)+11(0,1)8(1,0)+11(0,1) och denna avbildas därför av TT på vektorn

    T(8,11)=8(2,1,2)+11(-1,-1,0)=(5,-3,16).T(8,11)=8(2,1,2)+11(-1,-1,0) =(5,-3,16).

Stort tack Albiki, ska använda mig utav denna metod härefter istället för att ta fram ett uttryck för T(a1a2).

Jag har bara en ytterligare fråga, om jag gör på ditt sätt och ska bevisa att det är en linjär avbildning, hur gör jag då? Eller är det som du skrivit tillräckligt för ett bevis? Jag har nämligen precis påbörjat denna kurs och försöker förstå hur man visar att en transformation är linjär.

Som jag förstår det blir problemet löst om du kan finna en matris AA som representerar avbildningen TT, det vill säga att vektorn T(x)T(x) är samma sak som den vektor som man får vid matrismultiplikationen AxAx.

För att skapa representationsmatrisen AA behöver man veta hur TT hanterar basvektorerna e1e_1 och e2e_2 eftersom vektorerna T(e1)T(e_1) och T(e2)T(e_2) utgör kolumnerna i matrisen AA.

Notera att eftersom T:23T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 så måste matrisen A vara av typ 3×2.3\times 2.

Svara Avbryt
Close