Bevisa formeln för klotets volym

Ditt sätt fungerar också. Det är faktiskt ett väldigt elegant sätt att visa det hela på - du måste bara vara lite mer utförlig. Det blir ungefär samma resonemang som ett vanligt bevis för cirkelns area (vilket vi diskuterade för ett par dagar sedan) där man tar en oändlig summa av oändligt smala cirkelringar.

På samma sätt kan man ta en oändlig summa av oändligt tunna "klotskal" som kommer att ha volymen $4\pi r^2\cdot \Delta x$ och tillsammans utgör de hela klotets volym.

AlvinB skrev:

Ditt sätt fungerar också. Det är faktiskt ett väldigt elegant sätt att visa det hela på - du måste bara vara lite mer utförlig. Det blir ungefär samma resonemang som ett vanligt bevis för cirkelns area (vilket vi diskuterade för ett par dagar sedan) där man tar en oändlig summa av oändligt smala cirkelringar.

På samma sätt kan man ta en oändlig summa av oändligt tunna "klotskal" som kommer att ha volymen $4\pi r^2\cdot \Delta x$ och tillsammans utgör de hela klotets volym.

Formeln för klotets area ska väl betraktas som lika lite bevisad som formeln för klotets volym.
Lösningsexemplet utgår dock från Pythagoras sats som, i detta sammanhang, kan betraktas som en obestridlig sanning.

Affe Jkpg skrev:

AlvinB skrev:

Ditt sätt fungerar också. Det är faktiskt ett väldigt elegant sätt att visa det hela på - du måste bara vara lite mer utförlig. Det blir ungefär samma resonemang som ett vanligt bevis för cirkelns area (vilket vi diskuterade för ett par dagar sedan) där man tar en oändlig summa av oändligt smala cirkelringar.

På samma sätt kan man ta en oändlig summa av oändligt tunna "klotskal" som kommer att ha volymen $4\pi r^2\cdot \Delta x$ och tillsammans utgör de hela klotets volym.

Formeln för klotets area ska väl betraktas som lika lite bevisad som formeln för klotets volym.
Lösningsexemplet utgår dock från Pythagoras sats som, i detta sammanhang, kan betraktas som en obestridlig sanning.

 Var i uppgiften står det? :-P

Det är ju acceptabelt att visa cirkelns area genom att använda omkretsen, varför går det då inte att visa klotets volym genom att använda arean?

Jag förstår var du kommer ifrån i och med att det är ännu svårare att bevisa klotets area, men om TS på egen hand har kommit på ett elegant och annorlunda sätt att lösa uppgiften, ska man inte då uppmuntra TS till att fortsätta snarare än att tvinga hen att rätta sig efter facit?

Om jag rättade ett prov skulle jag definitivt ge full poäng (underförstått att beviset är korrekt genomfört) för en sådan lösning och kanske till och med ge ett plus i kanten.

AlvinB skrev:

Affe Jkpg skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Ditt sätt fungerar också. Det är faktiskt ett väldigt elegant sätt att visa det hela på - du måste bara vara lite mer utförlig. Det blir ungefär samma resonemang som ett vanligt bevis för cirkelns area (vilket vi diskuterade för ett par dagar sedan) där man tar en oändlig summa av oändligt smala cirkelringar.

På samma sätt kan man ta en oändlig summa av oändligt tunna "klotskal" som kommer att ha volymen $4\pi r^2\cdot \Delta x$ och tillsammans utgör de hela klotets volym.

Formeln för klotets area ska väl betraktas som lika lite bevisad som formeln för klotets volym.
Lösningsexemplet utgår dock från Pythagoras sats som, i detta sammanhang, kan betraktas som en obestridlig sanning.

 Var i uppgiften står det? :-P

Det är ju acceptabelt att visa cirkelns area genom att använda omkretsen, varför går det då inte att visa klotets volym genom att använda arean?

Jag förstår var du kommer ifrån i och med att det är ännu svårare att bevisa klotets area, men om TS på egen hand har kommit på ett elegant och annorlunda sätt att lösa uppgiften, ska man inte då uppmuntra TS till att fortsätta snarare än att tvinga hen att rätta sig efter facit?

Om jag rättade ett prov skulle jag definitivt ge full poäng (underförstått att beviset är korrekt genomfört) för en sådan lösning och kanske till och med ge ett plus i kanten.

Det finns diverse bevis på cirkelns area med utgångspunkt från dess omkrets.

Ett exempel illustreras med en bild:

https://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik_för_årskurs_7-9/Geometri/2D-geometri#/media/File:Area_of_a_circle.svg

Affe Jkpg skrev:

AlvinB skrev:

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev:

AlvinB skrev:

Ditt sätt fungerar också. Det är faktiskt ett väldigt elegant sätt att visa det hela på - du måste bara vara lite mer utförlig. Det blir ungefär samma resonemang som ett vanligt bevis för cirkelns area (vilket vi diskuterade för ett par dagar sedan) där man tar en oändlig summa av oändligt smala cirkelringar.

På samma sätt kan man ta en oändlig summa av oändligt tunna "klotskal" som kommer att ha volymen $4\pi r^2\cdot \Delta x$ och tillsammans utgör de hela klotets volym.

Formeln för klotets area ska väl betraktas som lika lite bevisad som formeln för klotets volym.
Lösningsexemplet utgår dock från Pythagoras sats som, i detta sammanhang, kan betraktas som en obestridlig sanning.

 Var i uppgiften står det? :-P

Det är ju acceptabelt att visa cirkelns area genom att använda omkretsen, varför går det då inte att visa klotets volym genom att använda arean?

Jag förstår var du kommer ifrån i och med att det är ännu svårare att bevisa klotets area, men om TS på egen hand har kommit på ett elegant och annorlunda sätt att lösa uppgiften, ska man inte då uppmuntra TS till att fortsätta snarare än att tvinga hen att rätta sig efter facit?

Om jag rättade ett prov skulle jag definitivt ge full poäng (underförstått att beviset är korrekt genomfört) för en sådan lösning och kanske till och med ge ett plus i kanten.

Det finns diverse bevis på cirkelns area med utgångspunkt från dess omkrets.

Ett exempel illustreras med en bild:

https://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik_för_årskurs_7-9/Geometri/2D-geometri#/media/File:Area_of_a_circle.svg

Det tvivlar jag inte på. :-)

Jag ser ändå inget fel med att bevisa klotets volym på detta sätt.

AlvinB skrev:

Ditt sätt fungerar också. Det är faktiskt ett väldigt elegant sätt att visa det hela på - du måste bara vara lite mer utförlig. Det blir ungefär samma resonemang som ett vanligt bevis för cirkelns area (vilket vi diskuterade för ett par dagar sedan) där man tar en oändlig summa av oändligt smala cirkelringar.

På samma sätt kan man ta en oändlig summa av oändligt tunna "klotskal" som kommer att ha volymen $4\pi r^2\cdot \Delta x$ och tillsammans utgör de hela klotets volym.

 Jag tror att du menar att det tunna skalet har volymen $4\pi x^2 \Delta x$ (och inte $4\pi r^2 \Delta x$), så att hela klotet får volymen

    $\displaystyle\int_{0}^{r}4\pi x^2\,dx = \frac{4\pi r^3}{3}.$

Albiki skrev:

AlvinB skrev:

Ditt sätt fungerar också. Det är faktiskt ett väldigt elegant sätt att visa det hela på - du måste bara vara lite mer utförlig. Det blir ungefär samma resonemang som ett vanligt bevis för cirkelns area (vilket vi diskuterade för ett par dagar sedan) där man tar en oändlig summa av oändligt smala cirkelringar.

På samma sätt kan man ta en oändlig summa av oändligt tunna "klotskal" som kommer att ha volymen $4\pi r^2\cdot \Delta x$ och tillsammans utgör de hela klotets volym.

 Jag tror att du menar att det tunna skalet har volymen $4\pi x^2 \Delta x$ (och inte $4\pi r^2 \Delta x$), så att hela klotet får volymen

    $\displaystyle\int_{0}^{r}4\pi x^2\,dx = \frac{4\pi r^3}{3}.$

 Just det. Det var ett skrivfel från min sida.

AlvinB skrev:

Affe Jkpg skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Affe Jkpg skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Ditt sätt fungerar också. Det är faktiskt ett väldigt elegant sätt att visa det hela på - du måste bara vara lite mer utförlig. Det blir ungefär samma resonemang som ett vanligt bevis för cirkelns area (vilket vi diskuterade för ett par dagar sedan) där man tar en oändlig summa av oändligt smala cirkelringar.

På samma sätt kan man ta en oändlig summa av oändligt tunna "klotskal" som kommer att ha volymen $4\pi r^2\cdot \Delta x$ och tillsammans utgör de hela klotets volym.

Formeln för klotets area ska väl betraktas som lika lite bevisad som formeln för klotets volym.
Lösningsexemplet utgår dock från Pythagoras sats som, i detta sammanhang, kan betraktas som en obestridlig sanning.

 Var i uppgiften står det? :-P

Det är ju acceptabelt att visa cirkelns area genom att använda omkretsen, varför går det då inte att visa klotets volym genom att använda arean?

Jag förstår var du kommer ifrån i och med att det är ännu svårare att bevisa klotets area, men om TS på egen hand har kommit på ett elegant och annorlunda sätt att lösa uppgiften, ska man inte då uppmuntra TS till att fortsätta snarare än att tvinga hen att rätta sig efter facit?

Om jag rättade ett prov skulle jag definitivt ge full poäng (underförstått att beviset är korrekt genomfört) för en sådan lösning och kanske till och med ge ett plus i kanten.

Det finns diverse bevis på cirkelns area med utgångspunkt från dess omkrets.

Ett exempel illustreras med en bild:

https://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik_för_årskurs_7-9/Geometri/2D-geometri#/media/File:Area_of_a_circle.svg

Det tvivlar jag inte på. :-)

Jag ser ändå inget fel med att bevisa klotets volym på detta sätt.

 Klassisk bevisföring brukar vara uppbyggd enligt följande exempel:

1. Antag att...klotets area  beskrivs med formeln $4\pi r^2$

2. Bevisa att...klotets volym beskrivs med formeln $\frac{4}{3}\pi r^3$

3. Bevisföring...ungefär som Albiki beskriver...

4. Slutsats...Vilket Skulle Bevisas (VSB)

Denna uppgift innehöll dock inte ovanstående antagande.

Affe Jkpg skrev:

AlvinB skrev:

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev:

AlvinB skrev:

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev:

AlvinB skrev:

Ditt sätt fungerar också. Det är faktiskt ett väldigt elegant sätt att visa det hela på - du måste bara vara lite mer utförlig. Det blir ungefär samma resonemang som ett vanligt bevis för cirkelns area (vilket vi diskuterade för ett par dagar sedan) där man tar en oändlig summa av oändligt smala cirkelringar.

På samma sätt kan man ta en oändlig summa av oändligt tunna "klotskal" som kommer att ha volymen $4\pi r^2\cdot \Delta x$ och tillsammans utgör de hela klotets volym.

Formeln för klotets area ska väl betraktas som lika lite bevisad som formeln för klotets volym.
Lösningsexemplet utgår dock från Pythagoras sats som, i detta sammanhang, kan betraktas som en obestridlig sanning.

 Var i uppgiften står det? :-P

Det är ju acceptabelt att visa cirkelns area genom att använda omkretsen, varför går det då inte att visa klotets volym genom att använda arean?

Jag förstår var du kommer ifrån i och med att det är ännu svårare att bevisa klotets area, men om TS på egen hand har kommit på ett elegant och annorlunda sätt att lösa uppgiften, ska man inte då uppmuntra TS till att fortsätta snarare än att tvinga hen att rätta sig efter facit?

Om jag rättade ett prov skulle jag definitivt ge full poäng (underförstått att beviset är korrekt genomfört) för en sådan lösning och kanske till och med ge ett plus i kanten.

Det finns diverse bevis på cirkelns area med utgångspunkt från dess omkrets.

Ett exempel illustreras med en bild:

https://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik_för_årskurs_7-9/Geometri/2D-geometri#/media/File:Area_of_a_circle.svg

Det tvivlar jag inte på. :-)

Jag ser ändå inget fel med att bevisa klotets volym på detta sätt.

 Klassisk bevisföring brukar vara uppbyggd enligt följande exempel:

1. Antag att...klotets area  beskrivs med formeln $4\pi r^2$

2. Bevisa att...klotets volym beskrivs med formeln $\frac{4}{3}\pi r^3$

3. Bevisföring...ungefär som Albiki beskriver...

4. Slutsats...Vilket Skulle Bevisas (VSB)

Denna uppgift innehöll dock inte ovanstående antagande.

Inte heller innehöll uppgiften "antagandet" att Pythagoras sats eller analysens fundamentalsats är sann.

Det står ingenting i uppgiften om att man inte får använda klotets area, och alltså följer man uppgiftens instruktioner om man bevisar klotets volym genom att använda klotets area.