bevisa gränsvärde

Hej, är det tvunget att vara epsilon delta beviset eller räcker derivatans definition?

Om det handlar om epsilon delta vilket det förmodligen gör kanske detta är till hjälp.
https://sv.wikipedia.org/wiki/Epsilon-delta-bevis

Nä derivatans definition duger nog fint

Du vill visa att $\left|\sqrt{x+1}-2\right|<\epsilon för alla 0<\left|x-3\right|<\delta$ som du skrev ovan.

Förlängning med konjugat ger att $\left|\sqrt{x+1}-2\right| = \left|\frac{x+1-4}{\sqrt{x+1}+2}\right| = \frac{\left|x-3\right|}{\sqrt{x+1}+2} < \epsilon$

Där ser du att |x-3| som ska vara mindre än delta dyker upp i täljaren. Kommer du vidare?

Då kan du ju ställa upp derivatans definition, $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ och låta h gå mot 0

Okej, så

$\left|\sqrt{x+1}-2\right| = \left|\frac{x+1-4}{\sqrt{x+1}+2}\right| = \frac{1}{\sqrt{x+1}+2} \left|x-3\right|< \epsilon$

och eftersom att $\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\le \frac{1}{2}$ så kan man skriva

$\frac{1}{\sqrt{x+1}+2} \left|x-3\right|\le \frac{1}{2}\left|x-3\right|<\frac{1}{2}2\epsilon =\epsilon$ eftersom att $2\epsilon >\delta$?

Ska jag vara helt ärlig så fattar jag inte riktigt vad jag gjort eller vad det visar. 

Du har visat att

$|\sqrt{x+1}-2| \le \frac{1}{2}|x-3|.$ (Ekvation 1)

Låt nu $\epsilon >0$. Vi ställer oss nu frågan: Finns ett $\delta >0$ så att om $|x-3|<\delta$ så gäller att

$\frac{1}{2}|x-3| < \epsilon$?

För om det gör det så konvergerar gränsvärdet enligt epsilon-delta-definitionen.

Du har faktiskt visat att det finns ett sådant $\delta$, även om du inte skrivit ut det tydligt. Nämligen $\delta =2\epsilon$. För om $|x-3|<2\epsilon$ så får vi i (Ekvation 1) att

$\frac{1}{2}|x-3| < \frac{1}{2}2\epsilon =\hspace{0.17em}\epsilon$.

Dracaena skrev:

Då kan du ju ställa upp derivatans definition, $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ och låta h gå mot 0

Hur hjälper derivatan här? Bevis av ett gränsvärde genom att använda ett annat som bygger på att det första gränsvärdet existerade?

Du har helt rätt Dr. G, Jag var själv osäker om derivatans definition och därför skrev jag i mitt första inlägg,

Om det handlar om epsilon delta vilket det förmodligen gör kanske detta är till hjälp.
https://sv.wikipedia.org/wiki/Epsilon-delta-bevis

men precis som du poängterar handlar detta mycket riktigt om epsilon delta beviset och inte om derivatans def som jag föreslog tidigare i tråden. Nu vet till och med jag det till nästa gång. Tack för rättningen! :)

Hej,

Definiera deriverbara funktionen $f(x)=\sqrt{x+1}$ och studera $f(x)-f(3)$. Enligt Lagranges medelvärdessats finns det ett tal $c$ någonstans mellan $3$ och $x$ sådant att

    $f(x)-f(3)=f^\prime(c)\cdot(x-3)$

där derivatan

   $f^\prime(c)=\frac{1}{2\sqrt{c+1}}<\frac{1}{2\sqrt{3+1}}$.

Det följer att det går att få $|f(x)-f(3)|$ mindre än $\epsilon$ om man bara väljer $|x-3|$ tillräckligt litet.

Om vi får anta att funktionen är deriverbar så blir ju problemet trivialt eftersom funktionen då är kontinuerlig och $\underset{x\to 3}{\lim }$f(x) = f(3) = $\sqrt{4}$ = 2.