Bevisa gränsvärde

Hej!

Har suttit med en uppgift där jag ska bevisa $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2}$

Jag gjorde så här, givet att epsilon > 0.

$|f (x) - L| < ε |\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2}| < ε |\frac{2 - (x + 1)}{2 (x + 1)}| < ε |\frac{1 - x}{2 (x + 1)}| < ε |\frac{- 1 (x - 1)}{2 (x + 1)}| < ε |\frac{- 1}{2 (x + 1)}| |x - 1| < ε$

Sen ville jag hitta ett värde på första absolutbeloppet då x går mot 1.

$|\frac{- 1}{2 (x + 1)}| \leq \frac{1}{4}$

Kombinerade sedan båda uttrycken och fick

$|\frac{- 1}{2 (x + 1)}| |x - 1| < \frac{1}{4} |x - 1|$

vilket gjorde att jag drog slutsatsen att

$δ = 4 ε$

Har inget facit till uppgiften, så jag kollade med en av våra övningsledare om vad som ska vara rätt svar, och han sa att 4 epsilon var för stort. Han hade använt en annan metod för att lösa uppgiften och fått något annat, som han sa var den övre gränsen för vad delta kommer kunna bli, men sa också att min metod är korrekt. Uppenbarligen har det smugit sig in ett fel någonstans, men jag fattar inte vad? Förstår inte heller hur man kan komma fram till en övre gräns för delta?

Det är ju inte sant generellt att $\frac{1}{2 |x + 1|} \leq \frac{1}{4}$ .

Du behöver sätta villkor på x. Tex så gäller det att 1/|x+1| < 1 om |x - 1| < 1.

Om vi sätter $δ = m i n (1, ε)$ , så har vi om $|x - 1| < δ$ att

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{|x + 1|} \cdot |x - 1| < \frac{δ}{2} \leq \frac{ε}{2} < ε$ .

PATENTERAMERA skrev:
Det är ju inte sant generellt att $\frac{1}{2 |x + 1|} \leq \frac{1}{4}$ .

Du behöver sätta villkor på x. Tex så gäller det att 1/|x+1| < 1 om |x - 1| < 1.

Det var lite det jag tänkte att jag gjorde när jag sa att det gällde då x -> 0. Men som du säger blir det ju inte riktigt rimligt ändå.

Testade att göra om den delen och istället ta fram en | x-1 |-term i nämnaren:

$|\frac{1}{2 (x + 1)}| = \frac{1}{2 |x + 1|} = \frac{1}{2 |x - 1 + 2|} = = \frac{1}{2 |(x - 1) + 2|} \leq \frac{1}{2 (|x - 1| + 2)} = = \frac{1}{4 + 2 |x - 1|}$

Om | x-1 | < 1 kan man då sätta att det ska vara mindre än 1/(4+2) = 1/6. Sen när jag kombinerar det med resten av uttrycket landar jag i att delta istället kommer bli 6 epsilon?? Och det är ju ännu större.

Hänger inte heller riktigt med på det sista steget du gjorde.

Notera att |(x-1)+2| $\leq$ |x-1|+2.

Så det stämmer inte att $\frac{1}{2 |(x - 1) + 2|} \leq \frac{1}{2 (|x - 1| + 2)}$ . Så du måste göra om ditt bevis.

•••

Det är tydligt att 1/|x+1| är mindre än 1 närhelst x är större än noll. Speciellt så gäller det om |x-1| < 1 (dvs om 0 < x < 2).

Vi sätter nu $δ = m i n (1, ε)$ . Notera att detta implicerar att $δ \leq 1 och δ \leq ε$ .

Om vi nu kräver att |x-1| < $δ$ så gäller det därmed både att 1/|x+1| < 1 och |x-1| < $ε$ .

Vi har därför att

$\frac{|x - 1|}{2 |x + 1|} = \frac{1}{2} \cdot |x - 1| \cdot \frac{1}{|x + 1|} < \frac{1}{2} \cdot ε \cdot 1 = \frac{ε}{2} < ε$ .

Svara

Visa senaste svar