bevisa huruvida 3A-I har invers (Matematik/Universitet/Linjär Algebra)

Det är en känd formel. det(cA) = cⁿdet(A) då A är n x n.

PATENTERAMERA skrev:
Det är en känd formel. det(cA) = cⁿdet(A) då A är n x n.

Tack, då är jag med på det... men varför nämner de egenvärde? vad har egenvärde men saken att göra?

Att det(A-(1/3)I) = 0 innebär 1/3 är ett egenvärde till A.

Sedan använder de sig av ett motsägelsebevis. De visar att antagandet att matrisen 3A-I inte är inverterbar leder till en konflikt med villkoret att A³ = 0. Därför måste matrisen vara inverterbar.

PATENTERAMERA skrev:
Att det(A-(1/3)I) = 0 innebär 1/3 är ett egenvärde till A.

Sedan använder de sig av ett motsägelsebevis. De visar att antagandet att matrisen 3A-I inte är inverterbar leder till en konflikt med villkoret att A³ = 0. Därför måste matrisen vara inverterbar.

"Att det(A-(1/3)I) = 0 innebär 1/3 är ett egenvärde till A." varför då?

Egenvärden $λ$ är ju lösningar till ekvationen det(A- $λ$ I) = 0.

PATENTERAMERA skrev:
Egenvärden $λ$ är ju lösningar till ekvationen det(A- $λ$ I) = 0.

oj.. juste, tack 😬 men asså hur vet man att "det måste då finnas en nollskild vektor v till det egenvärdet? tekniskt sätt kan man ju ha: A0 = $\frac{1}{3}$ 0, där 0 är nollvektorn?jag v

Det gäller helt allmänt att:

Om $\det M \ne 0$ , så är matrisen $M$ inverterbar och den enda lösningen till ekvationen $M \mathbf{v} = \mathbf{0}$ är $\mathbf{v} = M^{-1} \mathbf{0} = \mathbf{0}$ .
Om $\det M = 0$ , så är matrisen $M$ inte inverterbar och det finns icke-triviala (d.v.s. nollskilda) lösningar till ekvationen $M \mathbf{v} = \mathbf{0}$ . Med andra ord är nollrummet av $M$ icke-trivialt.

I denna konkreta uppgift vet man att $\det (A-\frac13 I) = 0$ , så det finns en nollskild vektor $\mathbf{v}$ (och den kallas då för egenvektor) som löser ekvationen $(A-\frac13 I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ , vilket också kan skrivas som $A\mathbf{v} = \frac13 \mathbf{v}$ .

Det brukar ingå i definitionen av egenvektorer att man kräver att en egenvektor inte är nollvektorn.

LuMa07 skrev:
Det gäller helt allmänt att:

Om $\det M \ne 0$ , så är matrisen $M$ inverterbar och den enda lösningen till ekvationen $M \mathbf{v} = \mathbf{0}$ är $\mathbf{v} = M^{-1} \mathbf{0} = \mathbf{0}$ .

Om $\det M = 0$ , så är matrisen $M$ inte inverterbar och det finns icke-triviala (d.v.s. nollskilda) lösningar till ekvationen $M \mathbf{v} = \mathbf{0}$ . Med andra ord är nollrummet av $M$ icke-trivialt.

I denna konkreta uppgift vet man att $\det (A-\frac13 I) = 0$ , så det finns en nollskild vektor $\mathbf{v}$ (och den kallas då för egenvektor) som löser ekvationen $(A-\frac13 I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ , vilket också kan skrivas som $A\mathbf{v} = \frac13 \mathbf{v}$ .

Det brukar ingå i definitionen av egenvektorer att man kräver att en egenvektor inte är nollvektorn.

okej tror jag fattar orsaken nu:

men det sista steget? Dvs A³v asså vad har det med att göra med matrisen 3A-I ?

Om talet $\lambda \in \mathbb{C}$ är ett egenvärde till matrisen $A$ med tillhörande egenvektor $\mathbf{v}$ , så är talet $\lambda^3$ ett egenvärde till $A^3$ med samma egenvektor $\mathbf{v}$ .

Detta kan man visa på följande sätt:

$A^3 \mathbf{v} = A(A(A\mathbf{v}))= A(A(\lambda \mathbf{v})) = \lambda\,A(A\mathbf{v}) = \lambda\,A(\lambda\mathbf{v}) = \lambda^2 A\mathbf{v} = \lambda^2\cdot \lambda\mathbf{v}=\lambda^3 \mathbf{v}$ .

Enligt uppgiften är $A^3 = \mathbf{0}$ , så $A^3$ har ett enda egenvärde, nämligen $\lambda = 0$ . Det innebär dock att talet $\lambda = 1/3$ inte kan vara ett egenvärde till $A$ , eftersom $1/3^3 = 1/27$ då vore ett egenvärde till $A^3$ . När $\lambda = 1/3$ inte är ett egenvärde till $A$ , så är matrisen $A-\frac13 I$ inverterbar och därmed är $3A - I$ också det.