Bevisa likhet mellan två summor av residyer, visa att en integral -> 0

Hej! Jag läste idag en del av en artikel Euler sums and contour integral representations. Där tar de upp en sats som de säger kommer från Cauchy och Lindelöf (men jag lyckades inte hitta mycket om det):

"Let $\xi (s)$ be a kernel funktion and let $r(s)$ be a rational function which is $O(s^{-2})$ at infinity. Then

$\displaystyle\sum_{\alpha \in O}\mathrm{Res}\left(r\left(s\right)\xi\left(s\right)\right)_{s=\alpha} = -\sum_{\beta \in S}\mathrm{Res}\left(r\left(s\right)\xi\left(s\right)\right)_{s=\beta}$

where $S$ is the set of poles of $r(s)$ and $O$ is the set of poles of $\xi(s)$ that are not poles of $r(s)$. Here $\mathrm{Res}(h(s))_{s=\lambda}$ denotes the residue of $h(s)$ at $s=\lambda$."

Där en "kernel function" definieras enligt:

"We define a kernel function $\xi(s)$ by the two requirements: $\xi(s)$ is meromorphic in the whole complex plane; $\xi(s)$ satisfies $\xi(s) = o(s)$ over an infinite collection of circles $|z|=\rho_k$ with $\rho_k \to \infty$"

Jag kan definitivt se att denna likhet håller, det känns som ett rätt naturligt specialfall av Cauchy's residysats. Och det är även det de säger man kan bevisa det med, ett bevis inkluderas inte men det står helt enkelt:

"It suffices to apply the residue theorem to

$\displaystyle \frac{1}{2i\pi}\int_{|s| = \rho_k}r\left(s\right)\xi\left(s\right)ds$"

Om man använder residysatsen så får man att 

$\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\int_{|s| = \rho_k}r\left(s\right)\xi\left(s\right)ds = \sum_{\alpha \in O}\mathrm{Res}\left(r\left(s\right)\xi\left(s\right)\right)_{s=\alpha} + \sum_{\beta \in S}\mathrm{Res}\left(r\left(s\right)\xi\left(s\right)\right)_{s=\beta}$
enligt de tidigare definitionerna.

Sedan är det bara att visa att integralen $\to 0$ så följer satsen direkt. Det är ju där storlekskraven på $\xi$ och $r$ kommer in. Men här är jag lite osäker, och det har jag nästan alltid varit när det kommer till dessa typer av argument. Tänker jag rätt i mitt följande argument?

Vi vill visa att

$\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{|s| = \rho_k}r\left(s\right)\xi\left(s\right)ds \to 0$ när $\rho_k \to \infty$

Då $r(s) = O\left(s^{-2}\right)$ har vi, enligt definitionen av O-notationen, att det existerar något reellt $M$ sådana att 

$\displaystyle \left|r(s)\right| \leq M \left|\frac 1{s^2}\right|$

för alla $s\geq \rho_k$
(Egentligen ska $s$ begränsas av något $x_0$ som vi vet existerar, men då $\rho_k$ kan göras arbiträrt stort tänker jag att vi lika gärna kan begränsa $s$ av det?)

Vidare, definitionen av lilla o-notationen säger att för alla $\varepsilon > 0$ kan vi finna ett $x_0$ sådana att 

$|\xi(s)| \leq \varepsilon s$ för alla $s \geq \rho_k$ 

($x_0$ ersätts med $\rho_k$ igen, enligt samma logik som tidigare) 

Om vi väljer ett $r_k$ stort nog sådana att olikheterna ovan gäller har vi då, enligt ML-olikheten att

$\displaystyle \left|\frac{1}{2\pi i}\int_{|s| = \rho_k}r\left(s\right)\xi\left(s\right)ds\right| \leq 2\pi \rho_k \cdot\varepsilon \rho_k M\cdot \frac{1}{\rho_k^2} = 2\pi \varepsilon M$

Eftersom $\varepsilon$ är arbiträrt kan denna då göras hur liten som möjligt (notera att $M$ inte är arbiträr). Då går integralen mot 0. 

$\blacksquare$ (?)

Jag känner mig alltid mycket osäker när jag försöker göra sådana här storleksargument med konturintegraler (särskilt då 90% av fallen går integralen mot 0 och då vet jag inte om jag tänkt rätt, spelar sällan någon roll!).

Jag vet inte om jag kan placera mitt finger på något specifikt jag är osäker på, kanske mest slutet med ML-olikheten. Ja, olikheterna enligt O-notationerna stämmer, men bara för reella $s$ (vi kan ju inte sätta en olikhet $s > \rho_k$ på ett komplext $s$ och jag hittade inte om definitionen är densamma för $|s| > \rho_k$). Kan vi vara säkra på att det inte finns något komplext $s$ på cirkeln $|s| = \rho_k$ som är större än det olikheten ger oss?