1 svar
57 visningar
Dani163 är nöjd med hjälpen
Dani163 1023
Postad: 20 jun 19:36

Bevisa lösningen till en linjär diofantisk ekvation med relativt prima koefficienter

Jag arbetar med att bevisa att en linjär diofantisk ekvation med relativt prima koefficienter alltid har heltalslösningar. Ekvationen jag tittar på har formen:

ax+by+cz+dw+=nax + by + cz + dw + \cdots = n

där koefficienterna a,b,c,d,a, b, c, d, \ldots är relativt prima, det vill säga att deras största gemensamma delare är 1. Jag förstår att Bezout's identitet kan användas för att bevisa att det finns heltalslösningar för två variabler, men jag är osäker på hur jag kan generalisera detta till fler variabler. Så här långt har jag kommit:

1. Enligt Bezout's identitet finns det heltalslösningar för två relativt prima tal a a och b b: ax+by=1 ax + by = 1

2. För flera variabler kan jag skriva:gcd(a,b,c,d,)=1\gcd(a, b, c, d, \ldots) = 1 vilket innebär att det finns heltal x1,y1,z1,w1, x_1, y_1, z_1, w_1, \ldots sådana att:ax1+by1+cz1+dw1+=1ax_1 + by_1 + cz_1 + dw_1 + \cdots = 1

3. Om jag multiplicerar denna ekvation med n n, får jag:n(ax1+by1+cz1+dw1+)=nn(ax_1 + by_1 + cz_1 + dw_1 + \cdots) = n vilket leder till:a(nx1)+b(ny1)+c(nz1)+d(nw1)+=na(nx_1) + b(ny_1) + c(nz_1) + d(nw_1) + \cdots = n

1. Hur generaliserar man detta till NN variabler?

2. Hur skulle jag ha kunnat upptäcka denna bevisning själv?

Finns det någon som kan hjälpa mig att förstå om mitt resonemang är korrekt och om jag har missat något viktigt? Alla råd och förslag är mycket uppskattade!

Tack på förhand!

Calle_K 1931
Postad: 20 jun 20:22 Redigerad: 20 jun 20:23

Din metod ser bra ut, generalisering av  Bézouts identitet gäller.

Slutsatsen du drar från sista ekvationen är att det finns sådana heltal så att ekvationen stämmer.


Notera att utan antagandet med relativt prima koefficienter gäller satsen om och endast om n är multipel av gcd(a,b,...,). I detta fall är gcd(a,b,...)=1 vilket gör att satsen gäller trivialt för samtliga heltal n (utom 0).

Svara Avbryt
Close