Bevisa maxpunkten för differentialekvationen utan andraderivatan
Jag vet att derivatan är en andragradsfunktion med nollställena N= 0 och N = K. Extrempunkten (maxvärdet) erhålls mellan nollställena, då N = K/2. Jag vill bevisa detta men jag kan inte derivera N' eftersom den beror av N som beror av t. Hur kan jag göra?
Facit: N' är växande på grund av begynnelsevillkoret och därför blir det en maxpunkt.
Jag förstår inte facits resonemang. Skulle någon kunna förklara?
Jag försökte multiplicera in r i parentesen och sedan motivera att N^2 termen är negativ (eftersom r är positiv) och att N' därför får en maxpunkt. Är det tillåtet att resonera så trots att N inte är en variabel och dessutom beror av t?
Mina frågor är (för förtydligande):
- Kan någon förklara facits resonemang?
- Är min motivering matematiskt korrekt?
Står det inte mer än så i facit? Jag förstår inte heller.
Har man gjort nåt användbart i delfråga a?
Vi har att
N'(t)=C N(t) (K-N(t)) = CKN(t) -CN(t)^2
N''(t) = CKN'(t) - 2CN(t)N'(t) = 2CN'(t) (K/2-N(t))
Vi vet att N'(t) > 0 så till vänster om K/2 är N''(t) > 0 och till höger om K/2 är den < 0
Alltså växer N'(t) till vänster och avtar till höger om K/2
N'(t) är därmed maximal för N(t)=K/2
