Bevisa med induktionsbevis för alla n: n(n+1)(n+2)/3

Du skall ANTA att påståendet gäller för n = p, d v s att 1*2+2*3+3*4+... +p(p+1) = p(p+1)(p+2)/3 och visa att I SÅ FALL gäller påståendet även för n = p+1, alltså att 1*2+2*3+3*4+... +p(p+1) +(p+1)(p+2) = (p+1)(p+2)(p+3)/3.

Börja med VL och försök göra om det till HL. 

VL  = [1*2+2*3+3*4+... +p(p+1)] +(p+1)(p+2) = [p(p+1)(p+2)/3] + (p+1)(p+2)  enligt induktionsantagandet - kommer du vidare?

Välkommen till Pluggakuten! Utmärkt början! Du har dock skrivit lite knasigt när du använder ditt induktionssteg. Vi antar att $1·2+2·3+...+p(p+1)=\frac{p(p+1)(p+2)}{3}$. Nu ska vi använda detta antagande för att visa att likheten stämmer för $n=p+1$, alltså att 

$$\begin{gathered} 1·2+2·3+...+p(p+1)+(p+1)(p+2)=\frac{\left(p+1\right)\left(\right(p+1)+1)\left(\right(p+1)+2)}{3}= \\ 1·2+2·3+...+p(p+1)+(p+1)(p+2)=\frac{\left(p+1\right)(p+2)(p+3)}{3} \end{gathered}$$

Vi kan börja med att använda vårt antagande, och skriva om vänsterledet till:

$1·2+2·3+...+p(p+1)+(p+1)(p+2)=\frac{p(p+1)(p+2)}{3}+(p+1)(p+2)$. 

Sätt detta nya vänsterled lika med högerledet. Försök nu skriva om något av leden så att det är tydligt att påståendena är ekvivalenta? :)

Tack för förklaring, jag förstår lite bättre nu. Så om jag förstått rätt så är

p(p+1)(p+2)/3+(p+1)(p+2) =p+1(p+2)(p+3)/3 ?

För isåfall så kommer jag inte vidare i ekvationen då jag inte ser hur dessa är lika med varandra. Hur förenklar jag? har försökt på flera olika sätt men kommer inte fram till hur VL=HL

Jag får det till

p(p+1)(p+2)/3 + 3 (p+1) (p+2)/3 = p+1(p+2)(p+3)/3  

Vilket sen inte ger något svar som jag kan komma fram till, hur ska jag fortsätta? Tacksam för svar. 

Mycket riktigt! 

Om vi nu skriver allt detta på samma bråkstreck får vi: 

$\frac{p\left(p+1\right)\left(p+2\right)+3\left(p+1\right)\left(p+2\right)}{3}\stackrel{?}{=}\frac{\left(p+1\right)\left(p+2\right)\left(p+3\right)}{3}$

Prova att bryta ut så mycket som du kan ur täljaren i vänsterledet. Vad blir kvar när du brutit ut alla gemensamma faktorer? :)

p(p+1)(p+2) + 3(p+1)(p+2) /3 = p+1(p+2)(p+3)/3 

Jag bryter ut (p+1) (p+2) och kvar i vänsterled har jag 3+p (p+1)(p+2) och sedan dividerar jag allt i 3 vilket är samma sak som i höger led. VL=HL

Är det rätt?

Äntligen förstår jag. Tack så mycket! :)

Isabella.mattehjälp skrev:

p(p+1)(p+2) + 3(p+1)(p+2) /3 = p+1(p+2)(p+3)/3 

 

Skriv inte p+1(p+2)(p+3)/3 om du menar (p+1)(p+2)(p+3)/3.

Isabella.mattehjälp skrev:

p(p+1)(p+2) + 3(p+1)(p+2) /3 = p+1(p+2)(p+3)/3 

Jag bryter ut (p+1) (p+2) och kvar i vänsterled har jag 3+p (p+1)(p+2) och sedan dividerar jag allt i 3 vilket är samma sak som i höger led. VL=HL

Är det rätt?

Äntligen förstår jag. Tack så mycket! :)

Som Laguna påpekar dock, var noga med parenteserna! :)