Bevisa något komplexeri (del 2)

Jag tror det är lämpligare att du inför polär form. Du har att

$z = re^{i\theta}$

Så då är VL

$\frac{r{e}^{i\theta }}{r^{-i\theta }}=e^{2i\theta }$

och du kan vidare notera att HL är ett komplext tal med beloppet 1, det ligger alltså på enhetscirkeln. Vi vet därför att det kan skrivas på formen $e^{i\omega}$, och då är alltså frågan om det existerar ett $\theta$ sådant att

$e^{2i\theta} = e^{i\omega}$

Svaret på det är ja, vi kan välja Error converting from LaTeX to MathML.

NEEEEEJJJJJJJ!!!

Vilket anticlimax!

Och förresten jag förstår inte lösningen...

Det ska stå: vi kan välja $\theta = \omega / 2$.

Okej, men jag kan nog skriva en annan lösning, eller ett förtydligande lite senare. Om ingen annan gör det.

Jättegärna. Jag förstår inte vad är det exakt jag inte förstår. Eulers formel är lätt och tydligt, det borde inte finnas konstigheter kvar i hjärnan? 

Stokastisk skrev :

Det ska stå: vi kan välja $\theta = \omega / 2$.

Okej, men jag kan nog skriva en annan lösning, eller ett förtydligande lite senare. Om ingen annan gör det.

Och dessutom, om $\theta =\frac{ \omega }{2}$, det blir oändliga många kandidater! Eller blir det -60° + 60 och -60° -60°?

Ja det finns oändligt många lösningar. Jag har varit lite lat här och bara nöjt mig med att konstatera att det finns lösningar, eftersom frågan endast beror existensen om lösningar istället för exakt vilka lösningarna är.

Man kan ju också välja r hur man vill, så länge det är större än 0.

Du har att $z = a + bi$ så du får att

$\frac{a+bi}{a-bi}=\frac{1-\sqrt{3}i}{2} \Rightarrow$

$a + bi =\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(a - bi)$

Multiplicerar man ut HL nu så får man

$a + bi =\hspace{0.17em}\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}b+\left(-\frac{1}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)i$

Nu måste imaginärdelen och realdelen vara lika, så man får att

$\left\{\begin{array}{l}a = \frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}b\\ b =\hspace{0.17em}-\frac{1}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}a\end{array}\right.$

Multiplicera båda leden med 2 och sedan förenkla så får man

$\left\{\begin{array}{l}a+\sqrt{3}b=0\\ 3b+\sqrt{3}a=0\end{array}\right.$

Om vi multiplicerar (1) med $\sqrt{3}$ så ser vi att dessa två ekvationer är ekvivalenta. Därför får man enbart ekvationen

$a = -\sqrt{3}b$

Så alltså alla komplexa tal som uppfyller att $Re(z) = -\sqrt{3}Im(z)$ och $z \neq 0$ kommer att lösa ekvationen.

Tack Stokastisk! Jag kollar på det ordentligt imorgon och återkommer med dumma frågor!!

Stokastisk skrev :

Du har att $z = a + bi$ så du får att

$\frac{a+bi}{a-bi}=\frac{1-\sqrt{3}i}{2} \Rightarrow$

$a + bi =\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(a - bi)$

Multiplicerar man ut HL nu så får man

$a + bi =\hspace{0.17em}\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}b+\left(-\frac{1}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)i$

Nu måste imaginärdelen och realdelen vara lika, så man får att

$\left\{\begin{array}{l}a = \frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}b\\ b =\hspace{0.17em}-\frac{1}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}a\end{array}\right.$

Multiplicera båda leden med 2 och sedan förenkla så får man

$\left\{\begin{array}{l}a+\sqrt{3}b=0\\ 3b+\sqrt{3}a=0\end{array}\right.$

Om vi multiplicerar (1) med $\sqrt{3}$ så ser vi att dessa två ekvationer är ekvivalenta. Därför får man enbart ekvationen

$a = -\sqrt{3}b$

Så alltså alla komplexa tal som uppfyller att $Re(z) = -\sqrt{3}Im(z)$ och $z \neq 0$ kommer att lösa ekvationen.

Tack!

Om jag vill ge en exempel det är bara att välja vilka tal som helst som fyller i detta villor ($a = -\sqrt{3}b$)....

Och med polar form, hur kan man lösa det snabbare?

Ja, det är bara att välja vilka tal som helst, förutom $a = b = 0$. Exempelvis så är $z = \sqrt{3} - i$ en lösning till ekvationen.

Polär form går smidigare att använda, då behöver man bara notera att (1 - sqrt(3))/2 ligger på enhetscirkeln och att z/conj(z) kan anta vilket tal som helst på enhetscirkeln.