johannes121 är nöjd med hjälpen
johannes121 223
Postad: 20 dec 2020 12:20 Redigerad: 20 dec 2020 12:23

Bevisa olikhet genom induktionsbevis

Hej,

Jag har till uppgift att bevisa följande:

2n>n2-2 för n > 2.

Först testar jag för "basfallet" n = 3 och får i VL: 2^3 = 8. I HL erhålls istället 3^2 - 2 = 7. Vilket stämmer.

Nu antar jag att påståendet stämmer för n = k där k + och testar för n = k + 1.

2k > k2-2

Multiplikation med två ger på båda sidor:

2k+1>2k2-4

Jag möblerar om i HL till nedanstående:

2k+1>k2+k2-2-2

Av mitt påstående att 2k>k2-2 så måste rimligtvis 2k+1>k2-2 och eftersom k2-22k+1 för k > 2 så kan vi substituera detta i olikheten:

2k+1>k2+2k+1 - 2

Av kvadreringsreglerna erhålls slutligen:

2k+1>(k+1)2-2


Ser det bra ut, eller hittar ni någon brist i min argumentation för beviset?

Tack!

Aerius 504
Postad: 20 dec 2020 15:09 Redigerad: 20 dec 2020 15:10
johannes121 skrev:

Hej,

Jag har till uppgift att bevisa följande:

2n>n2-2 för n > 2.

Först testar jag för "basfallet" n = 3 och får i VL: 2^3 = 8. I HL erhålls istället 3^2 - 2 = 7. Vilket stämmer.

Nu antar jag att påståendet stämmer för n = k där k + och testar för n = k + 1.

2k > k2-2

Multiplikation med två ger på båda sidor:

2k+1>2k2-4

Jag möblerar om i HL till nedanstående:

2k+1>k2+k2-2-2

Av mitt påstående att 2k>k2-2 så måste rimligtvis 2k+1>k2-2 och eftersom k2-22k+1 för k > 2 så kan vi substituera detta i olikheten:

2k+1>k2+2k+1 - 2

Av kvadreringsreglerna erhålls slutligen:

2k+1>(k+1)2-2


Ser det bra ut, eller hittar ni någon brist i min argumentation för beviset?

Tack!

I det fetade används påståendet som ska bevisas som om det redan är sant. Då blir det ett cirkelresonemang. Alla steg i beviset, utom induktionsantagandet, måste vara logiskt korrekt. I övrigt var det en gott försök.

Tomten 289
Postad: 20 dec 2020 15:50

Byt ut ordet "påstående" i den fetade texten mot ordet "induktionsantagande" och ditt bevis går igenom.

F ö onödigt att använda induktion för att bevisa en sådan här sak. Sätt f(x) = 2X - x2 + 2, konstatera att f(3) > 0, att f´(x) = ln2*2x - -2x > 0,5*2- 2x >=2x-1 -2x >= 0 för x>3 (ln2>0,6>0,5) och du har olikheten bevisad för alla reella tal >=3. Alltså speciellt för alla naturliga tal >=3. (Men denna gången stod det ju att beviset SKULLE göras med induktion.)

Henrik 150
Postad: 20 dec 2020 15:55

Du gör rätt fram t o m n=k, men det blir inte rätt när du skall testa för n=k+1.  Du har k2 -2 i HL, alltså får du (k+1)2-2, vilket ger k2+2k-1 = HLk+1. För att få VLK+1 utnyttjar man antagandet att 2k > (k2 -2). Om man väljer (k2 -2), och ändå lyckas bevisa att VL>HL, ja då är saken klar.

Alltså, VLK+1 = (k2 -2) + 2K+1 = k2 -2 + 2k+1         

Nu jämför du slutligen VL och HL, för att se om påståendet gäller för för alla K: k2 -2 + 2k+1 > k2 +2k-1, vilket ger: 2k+1-1 > 2k.

Eftersom k>2 (2 k+1 > 2 k+1), så är nu beviset klart!                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

parveln 703
Postad: 20 dec 2020 16:19
Tomten skrev:

Byt ut ordet "påstående" i den fetade texten mot ordet "induktionsantagande" och ditt bevis går igenom.

F ö onödigt att använda induktion för att bevisa en sådan här sak. Sätt f(x) = 2X - x2 + 2, konstatera att f(3) > 0, att f´(x) = ln2*2x - -2x > 0,5*2- 2x >=2x-1 -2x >= 0 för x>3 (ln2>0,6>0,5) och du har olikheten bevisad för alla reella tal >=3. Alltså speciellt för alla naturliga tal >=3. (Men denna gången stod det ju att beviset SKULLE göras med induktion.)

Att lösa uppgiften är mycket mer elementärt, och att konstruera reella tal och derivator för att lösa uppgiften verkar onödigt.

johannes121 223
Postad: 20 dec 2020 21:06
Aerius skrev:
johannes121 skrev:

Hej,

Jag har till uppgift att bevisa följande:

2n>n2-2 för n > 2.

Först testar jag för "basfallet" n = 3 och får i VL: 2^3 = 8. I HL erhålls istället 3^2 - 2 = 7. Vilket stämmer.

Nu antar jag att påståendet stämmer för n = k där k + och testar för n = k + 1.

2k > k2-2

Multiplikation med två ger på båda sidor:

2k+1>2k2-4

Jag möblerar om i HL till nedanstående:

2k+1>k2+k2-2-2

Av mitt påstående att 2k>k2-2 så måste rimligtvis 2k+1>k2-2 och eftersom k2-22k+1 för k > 2 så kan vi substituera detta i olikheten:

2k+1>k2+2k+1 - 2

Av kvadreringsreglerna erhålls slutligen:

2k+1>(k+1)2-2


Ser det bra ut, eller hittar ni någon brist i min argumentation för beviset?

Tack!

I det fetade används påståendet som ska bevisas som om det redan är sant. Då blir det ett cirkelresonemang. Alla steg i beviset, utom induktionsantagandet, måste vara logiskt korrekt. I övrigt var det en gott försök.

Menar du att jag ska uttrycka mig annorlunda i den fetmarkerade delen eller går det fel matematiskt?

Albiki 5096
Postad: 21 dec 2020 10:36

Hej,

Induktionsbevis består av fyra steg som illustreras nedan.

Steg 1. Visa att olikheten gäller för n=3n=3

Steg 2. Anta att olikheten gäller för ett visst heltal nn.

Steg 3. Visa att olikheten gäller för nästa heltal n+1n+1.

Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet gäller olikheten för varje heltal större än 2.

Det kreativa arbetet utförs vid Steg 3.

Du antar att 2n>n2-22^{n}>n^2-2 och vill visa att 2n+1>(n+1)2-2.2^{n+1}>(n+1)^2-2. Multipliceras olikheten 2n>n2-22^{n}>n^2-2 med talet 22 får man 2n+1>2n2-42^{n+1}>2n^2-4.

Om man kan visa att 2n2-4>(n+1)2-22n^2-4>(n+1)^2-2 när n>2n>2 så har målet nåtts.

Aerius 504
Postad: 21 dec 2020 11:05

Ställ upp svaret enligt hur Albiki skrev. Väldigt nyttigt att lära sig ett standardsätt hur man skriver lösningar.

Smaragdalena 57479 – Lärare
Postad: 21 dec 2020 11:38

Boken Matematik 5000 delar upp Albikis steg 2 och 3 i tre steg: Induktionsantagande, Påstående och Bevis (för påståendet). Inte bättre, inte sämre, bara lite annorlunda. Idén är ändå densamma.

Svara Avbryt
Close