Bevisa serierepresentationen för digammafunktionen, ψ0(x) = Γ'(x)/Γ(x)

Hej!

Digammafunktionen definieras enligt 

$\displaystyle \psi_0\left(s\right) := \frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\ln\left(\Gamma\left(s\right)\right) = \frac{\Gamma^\prime\left(s\right)}{\Gamma\left(s\right)}$

Där $\Gamma(s)$ är gammafunktionen, definierad enligt 

$\displaystyle \Gamma\left(s\right) := \int\limits_0^\infty x^{s-1} e^{-x}\mathrm dx ,\,\, \operatorname{Re}\left(s\right) > 0$

Det finns en känd serieutveckling för $\psi_0(s)$:

$\displaystyle \psi_0\left(s\right) = -\gamma + \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+s}\right)$ 

Där $\displaystyle \gamma = -\psi_0\left(1\right)$ är Euler-Mascheroni konstanten.

Jag kom på en ganska snabb härledning av denna formel och varför den bör stämma för positiva heltal. Jag vet däremot inte riktigt hur man ska förlänga det till alla tal. 

Härledning

Partiell integration på $\Gamma(s+1)$ ger att 

$\displaystyle \Gamma\left(s+1\right) = s\Gamma\left(s\right)$

Då har vi att

$\displaystyle \ln\left(\Gamma\left(s+1\right)\right)=\ln\left(\Gamma\left(s\right)\right)+\ln s$

Tag derivatan map $s$ för att få den rekursiva formeln

$\displaystyle \psi_0\left(s+1\right) = \psi_0\left(s\right) + \frac 1s$

Upprepad användning av denna rekursion ger oss, för alla positiva heltal $N$, 

$\displaystyle \psi_0\left(s+N\right) = \psi_0\left(s\right) + \sum_{n=0}^{N-1}{\frac{1}{n+s}}$

Om vi låter $s = 1$ och substituerar $N \to N-1$ får vi att för heltal $\psi_0(N)$ gäller formeln

$\displaystyle \psi_0\left(N\right) = \psi_0\left(1\right) + \sum_{n=0}^{N-2}{\frac{1}{n+1}}$

Nu gör vi lite algebraisk manipulation på summan. Vi låter summan gå till något heltal $M> N$, då måste vi självklart också subtrahera termerna för att behålla likhet:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{N-2}{\frac{1}{n+1}} = \sum_{n=0}^{M}{\frac{1}{n+1}}-\sum_{n=N-1}^{M}{\frac{1}{n+1}}$

I den andra summan indexerar vi om sådana att $n$ startar på 0. Då får vi att 

$\displaystyle \sum_{n=0}^{N-2}{\frac{1}{n+1}} = \sum_{n=0}^{M}{\frac{1}{n+1}}-\sum_{n=0}^{M-N+1}{\frac{1}{n+N}}$

Nu adderar vi in termerna som saknas för att låta den andra summan gå upp till $M$ (och sedan subtrahera dem för att få kvar likhet). Då får vi att 

$\displaystyle \sum_{n=0}^{N-2}{\frac{1}{n+1}} = \sum_{n=0}^{M}\frac{1}{n+1}-\sum_{n=0}^{M}\frac{1}{n+N}+\sum_{n=M-N+2}^{M}\frac{1}{n+N}$

Då har vi slutligen

$\displaystyle \sum_{n=0}^{N-2}{\frac{1}{n+1}} = \sum_{n=0}^{M}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+N}\right)+\sum_{n=M-N+2}^{M}\frac{1}{n+N}$

Om vi låter $M \to \infty$ kommer den andra summan "klart" gå mot 0 och vi får att 

$\displaystyle \sum_{n=0}^{N-2}{\frac{1}{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+N}\right)$

(Notera nu att efter den andra summan har försvunnit finns inga $N$ i summagränserna och därmed försvinner kravet för $N \in \mathbb Z^+$ för att summan ska vara "logisk")
Vilket ger oss att för positiva heltal $N$ gäller det att 

$\displaystyle \psi_0\left(N\right) = \psi_0\left(1\right) + \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+N}\right)$

Vilket exakt är summaformeln för $\psi_0(s)$. Däremot förutsätter all min algebra att $N$ är ett heltal. Hur kan man visa att denna summaformel också är giltig för alla tal, där giltig innebär att summan är lika med definitionen av $\psi_0(s)$, alltså derivatan av $\ln(\Gamma(s))$). 

Jag tror inte det är uppenbart eller trivialt att summan exakt förlängs till $\Gamma^\prime\left(s\right)/\Gamma\left(s\right)$ bara för att de stämmer överens vid positiva heltal. Det går lätt att hitta funktioner som stämmer överens med en viss funktion vid heltal och inte på andra ställen. Ett trivialt exempel är $f(x) = \cos(2\pi x)\Gamma(x)$, som stämmer överens med $\Gamma(x)$ för alla heltal. Hur kan man veta att det inte är det som händer här med summan?