bevisa summan

Du tänker helt rätt.

Men i beviset bör du endast arbeta med vänsterledet och högerledet var för sig, inte sätta dem lika med varandra från början.

Exempelvis så här:

Vänsterledet är $x^2-y^2$

Eftersom $x=1+y$ så kan vänsterledet skrivas

$(1+y)^2-y^2$

Utveckla kvadraten:

$(1+2y+y^2)-y^2$

Förenkla:

$1+2y$

Nu tittar vi på högerledet, dvs $x+y$

Eftersom $x=1+y$ kan högerledet skrivas $(1+y)+y$

Förenkla:

$1+2y$

Vänsterled = Högerled

Alltså gäller likheten för alla $x$ och $y$ som uppfyller att $x-y=1$

Tack!

Kan man också tänka så här: (?)

x - y = 1

x = (1 + y)

x² - y² = (1 + y)² - y² = 1 + 2y + y² - y² = 1 + 2y = (x - y) + 2y = x + y

Det som jag gjorde i slutet  var att ersätta 1 med (x - y) enligt den första ekvationen, alltså x - y = 1

Då har jag dock använt den första ekvationen två gånger, dels när jag bytte ut x mot (1+y) och när jag bytte 1 mot (x-y). Får man göra så?

Ja, så kan du göra. Och det är OK att använda första ekvationen två gånger.

Tack!!

En alternativ lösning som är ganska smidig är att utnyttja konjugatregeln, då får man direkt:

$x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)=\left(x+y\right)\cdot 1=x+y$.