Bevisa "utseende" på ideal till ringen av kontinuerliga funktioner på ett kompakt intervall

Du har faktiskt redan utnyttjat att intervallet $[a, b]$ är kompakt när du motiverade att varje $f$ i en äkta ideal i $R$ har ett nollställe.

Jag skulle angripa påståendet i uppgiften genom att först bevisa följande

Hjälpsats:

Antag att $I \subset R=\mathcal{C}([a,b])$ är en äkta (proper) ideal i $R$. Då existerar minst en punkt $x_0 \in [a, b]$ sådan att $f(x_0) = 0$ gäller för varje funktion $f \in I$.

Bevis (motsägelse):

Antag att det inte finns något gemensamt nollställe $x_0 \in [a,b]$. Till varje funktion $f \in I$ definierar man mängden $U_f = \{ t \in [a, b]: f(t) \ne 0\}$. Eftersom $f$ är kontinuerlig, så är $U_f$ en öppen mängd i det kompakta topologiska rummet $[a, b]$. Eftersom det inte finns något gemensamt nollställe, så gäller att ${[a,b]} = \displaystyle \bigcup_{f\in I} U_f$ och detta är en öppen övertäckning (open cover) av $[a, b]$. Därmed finns det en ändlig delövertäckning (finite subcover) ${[a,b]} = \displaystyle \bigcup_{k=1}^N U_{f_k}$ där $f_1, f_2, \ldots, f_N \in I$.

Bilda en ny funktion $g = f_1^2 + f_2^2 + \cdots + f_N^2$. Denna funktion är positiv överallt i intervallet $[a, b]$ och dessutom ligger den i idealen $I$. Eftersom multiplikativ invers till $g$ existerar i $R$, så ligger funktionen konstant 1 i idealen $I$. Detta i sig medför att $I = R$, vilket motsäger antagandet att $I$ är en äkta ideal i $R$.

När man nu vet att varje äkta ideal består av funktioner som har minst ett gemensamt nollställe, så är det inte svårt att motivera att varje maximal ideal består av funktioner som har exakt ett gemensamt nollställe.

Tack så mycket!

Jag resonerar såhär utifrån hjälpsatsen:

Låt $I$ vara maximal och låt $\alpha$ vara en punkt så att $f(\alpha) = 0$ för varje funktion $f \in I$ (vilket existerar enligt hjälpsats). Då har vi att $I \subseteq \ker \varphi$, där $\varphi: R \to \mathbb R, f \mapsto f(\alpha)$ är en ring homomorfi (rätt ord?). Eftersom $\ker \varphi \trianglelefteq R$ är en äkta ideal har vi att $I = \ker \varphi$ då $I$ maximal. Därmed är $I = \{f \in R: f(\alpha) = 0\}$. 

Hur använder jag att $[a,b]$ kompakt för att komma fram till att $f$ har ett nollställe? 

Jag ser inte hur samma argument skulle misslyckas på, exempelvis ett arbiträrt intervall. Vi vet att $f$ inte har en kontinuerlig multiplikativ invers om $f \in I$, därmed följer det att $f(x) = 0$ har en lösning. 

AlexMu skrev:

Hur använder jag att $[a,b]$ kompakt för att komma fram till att $f$ har ett nollställe? 

Hmmm... det undrar jag också. Låt oss låtsas att jag aldrig skrivit något sådant. Det blir nog bäst...