Bevismetod

Vet att denna frågan varit ute tidigare, men ingen som redovisat sitt svar stegvis. Testar att lösa den på följande sätt:

$D e t s o m s k a b e v i s a s ä r : 8^{n} - 3^{n} V i l k e t i n n e b ä r a t t v i s k a v i s a 8^{n} - 3^{n} \equiv (m o d 5) M a n k a n a n v ä n d a m o d 5 d v s . 8 \equiv 3 (m o d 5) 3 \equiv 3 (m o d 5) \Rightarrow 8^{n} - 3^{n} \equiv 3^{n} - 3^{n} \equiv 0 (m o d 5) D å 8 \equiv 3 m o d 5 g ä l l e r g ä l l e r ä v e n 8^{n} \equiv 3^{n} f ö r a l l a p o s i r i v a h e l t a n D v s . d e t ä r d e l b a r t m e d 5 f ö r s a m t l i g a p o s i t i v a h e l t a l n . M e d i n d u k t i o n : S t e g 1 : V i k o n t r o l l e r a r b a s f a l l e t : n = 1 8^{1} - 3^{1} = 8 - 3 = 5 v i f å r V l = H L a l l t s å s t ä m m e r d e t t a S t e g 2 : V i g ö r e t t a n ta g a n d e o m a t t u t t r y c k e t ä r d e l b a r t m e d 5 f ö r p o s i t i v a h e l t a l n = k 8^{k} - 3^{k} = 5 m S t e g 3 : I n d u k t i o n s s t e g e t m e d b e v i s f ö r a t t d e t g ä l l e r n = k + 1 V a d s o m v i l l v i s a s ä r : 8^{k + 1} - 3^{k + 1} \equiv (m o d 5) \Rightarrow K a n s k r i v a s o m : 8^{k + 1} - 3^{k + 1} = 8 \times 8^{k} - 3 \times 3^{k} 8 \times 8^{k} - 3 \times 3^{k} = 8 (8^{k} - 3^{k}) + (8 - 3) \times 3^{k} = 8 (8^{k} - 3^{k}) + 5 \times 3^{k} I n d u k t i o n s a n t a g a n d e t ä r : 8^{k} - 3^{k} = 5 m = 8 \times 5 m 0 5 \times 3^{k} = 5 (8 m + 3^{k}) V L = H L o c h 8^{k + 1} - 3^{k + 1} \equiv 0 (m o d 5) A l l t s å ä r d e t b e v i s a t g e n o m i n d u k t i o n s s t e g e t$

Jag tycker det verkar onödigt krångligt. Skriv i bas fem

8ⁿ – 3ⁿ = (10+3)ⁿ – 3ⁿ =^. 10(…)+…+3ⁿ – 3ⁿ = 10(…) som är delbart med 10 (dvs 5 i bas fem)

Anm. Nu ser jag att du hade två bevis. Det första, där du räknar modulo [5] är förstås också enkelt och bra. Men induktion känns som att skjuta mygg med kanon här.

Marilyn skrev:
Jag tycker det verkar onödigt krångligt. Skriv i bas fem

8ⁿ – 3ⁿ = (10+3)ⁿ – 3ⁿ =^. 10(…)+…+3ⁿ – 3ⁿ = 10(…) som är delbart med 10 (dvs 5 i bas fem)

Anm. Nu ser jag att du hade två bevis. Det första, där du räknar modulo [5] är förstås också enkelt och bra. Men induktion känns som att skjuta mygg med kanon här.

Typ på detta vis:

$B e v i s a a t t 8^{n} - 3^{n} N o t e r i n g i b a s 5 ä r : 8 = 10 + 3 d v s . 8 = 13_{5} 3 = 2 d v s . 3 = 3_{5} V i k a n s k r i v a 8^{n} - 3^{n} = {(10 + 3)}^{n} - 3^{n} B i o n o m i a l s a t s e n g e r : {(10 + 3)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) 10^{k} \times 3^{n - k} V i f å r d å a t t : {(10 + 3)}^{n} - 3^{n} = {\sum (}_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) 10^{k} \times 3^{n - k}) N ä r k = 0 f å r v i b o r t 10^{0} \times 3^{n} = 3^{n} V i f å r a l l t s å k v a r : \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) 10^{k} \times 3^{n - k}$

Typ så, men jag tycker fortfarande att du skriver onödigt mycket.

Kanske så här:

Bas fem:

8ⁿ – 3ⁿ = (10+3)ⁿ – 3ⁿ =^.10ⁿ + 10^n–1 C₁ + 10^n–2 C₂ + … + 10 C_n–1 + 3ⁿ – 3ⁿ=

[där C_k (k = 1, 2, …, n–1) är heltalskonstanter enl binomialsatsen]

= 10(…)+…+3ⁿ – 3ⁿ = 10(…) som är delbart med 10 (dvs 5 i bas fem).

Marilyn skrev:
Typ så, men jag tycker fortfarande att du skriver onödigt mycket.

Kanske så här:

Bas fem:

8ⁿ – 3ⁿ = (10+3)ⁿ – 3ⁿ =^.10ⁿ + 10^n–1 C₁ + 10^n–2 C₂ + … + 10 C_n–1 + 3ⁿ – 3ⁿ=

[där C_k (k = 1, 2, …, n–1) är heltalskonstanter enl binomialsatsen]

= 10(…)+…+3ⁿ – 3ⁿ = 10(…) som är delbart med 10 (dvs 5 i bas fem).

Räcker det som bevis?

Vad som ”räcker” är ju lite en fråga om vem man vänder sig till.

A. Man kan tänka sig att använda modulo (5):

8ⁿ – 3ⁿ = 3ⁿ – 3ⁿ = 0 (mod 5) så 8ⁿ – 3ⁿ = 0 mod (5) vilket skulle bevisas.

Fast det förutsätter att man kan anse bekant att moduloräkning funkar på denna typ av operationer.

B. Man kan skriva om till bas (fem) och då tycker jag mitt bevis räcker.

C. Man kan använda induktion. I så fall skulle jag inte blanda in basbyten eller moduloräkning. Det bara rör till det.

Påst: 8ⁿ – 3ⁿ är delbart med 5.

Bevis:

1. Påst sant för n = 1, ty 8¹ –3¹ = 5 som är delb med 5.

2. Antag att det är sant för n = k, dvs att 8^k – 3^k = 5j för ngt heltal j.

Då är det sant för n = k+1, dvs

8^k+1 – 3^k+1 = 5m för något heltal m

VL = 8*8^k – 3*3^k = 8*8^k – 8*3^k + 5*3^k=
= 8 (8^k – 3^k) + 5*3^k = 8*5j + 5*3^k =

= 5 (8j + 3^k) = 5m för m = 8j+3^k.

3. Alltså följer påståendet av induktionsprincipen. VSV

Svara

Visa senaste svar