5 svar
53 visningar
yzarc 18
Postad: 17 okt 2020 Redigerad: 17 okt 2020

Binära relationer

Hej!

Jag känner mig ganska förvirrad över relationer.

Egenskaper för en relation på mängden X :

Reflexiv : xRx  för alla xX

Symmetrisk: xRy  yRx  för alla   x, y X

Anti-symmetrisk:  xRy  yRx  x=y   för alla   x, y X

Transitiv:  xRy  yRz  xRz  för alla x, y, zX

 

Det som gör mig förvirrad är implikationspilarna. 

Är en relation symmetrisk om xRy är falskt, oavsett om yRx är sann eller falsk?  

Samma sak för anti-symmetrisk: Om ett av xRy och yRx är falsk (eller om båda är det), är relationen anti-symmetrisk då?

Samma fråga för transitivitet. 

 

I en riktad graf, går det att se följande om relationen är symmetrisk, eller om den är anti-symmetrisk?

 

Snälla hjälp mig!

Mvh Yzarc

Enaya N. 61
Postad: 17 okt 2020

När det kommer till symmetri: om vänsterledet är falskt och högerledet är sant, då är implikationen sann dvs. xRy är falskt och yRx är sann så är (xRy => yRx) sann. men det relationen gäller på hela mängden,  vi har alltså yRx => xRy, då gäller inte implikationen. Det ska ju gälla för alla element i mängden. Det är lättare att tänka att om det finns en pil mellan två olika element/noder så ska den vara dubbelriktad för att den ska vara symmetrikt.

När det kommer till anti-symmetri och transitivitet så är tre element involverade som gör det komplext. Men tänk på relationen "<" som jag påstår är antisymmetrik. eftersom x<y och y<x är en kontradiktion. Så det gäller att om vänsterledet är falskt så är implikationen sann.

I korthet så betyder implikationen precis så som du har lärt dig inom logiken men man ska vara försiktig med t.ex. symmetri eftersom om vi tar elementen i omvänd ordning så kan vi få att de trots allt är inte symmetrik.

När det kommer till din exempel bild med 2 element i mändgen utan några relationer är den symmetrisk eftersom det gäller mellan båda elementen. Vet dock inte om en sådan relation är giltig eller användbar eftersom det inte finns någon relation alls så att säga.

yzarc 18
Postad: 17 okt 2020
Enaya N. skrev:

När det kommer till symmetri: om vänsterledet är falskt och högerledet är sant, då är implikationen sann dvs. xRy är falskt och yRx är sann så är (xRy => yRx) sann. men det relationen gäller på hela mängden,  vi har alltså yRx => xRy, då gäller inte implikationen. Det ska ju gälla för alla element i mängden. Det är lättare att tänka att om det finns en pil mellan två olika element/noder så ska den vara dubbelriktad för att den ska vara symmetrikt.

Är det bara symmetrin som man behöver kolla elementen i omvänd ordning för att se om det gäller? (Alltså att både xRy => yRx och yRx => xRy  ska ge att det är sant.)

Eller är det något motsvarande man måste göra för att se om relationen är  transitiv?

När det gäller anti-symmetri kollar man väl den "omvända ordningen" på en gång?

Enaya N. 61
Postad: 17 okt 2020
yzarc skrev:
Enaya N. skrev:

När det kommer till symmetri: om vänsterledet är falskt och högerledet är sant, då är implikationen sann dvs. xRy är falskt och yRx är sann så är (xRy => yRx) sann. men det relationen gäller på hela mängden,  vi har alltså yRx => xRy, då gäller inte implikationen. Det ska ju gälla för alla element i mängden. Det är lättare att tänka att om det finns en pil mellan två olika element/noder så ska den vara dubbelriktad för att den ska vara symmetrikt.

Är det bara symmetrin som man behöver kolla elementen i omvänd ordning för att se om det gäller? (Alltså att både xRy => yRx och yRx => xRy  ska ge att det är sant.)

Eller är det något motsvarande man måste göra för att se om relationen är  transitiv?

När det gäller anti-symmetri kollar man väl den "omvända ordningen" på en gång?

Jag tycker att det är svårt att tolka det rakt av med hjälp av logik symbolerna. De används mest för att definiera bara. lättast att se de olika egenskaperna är att rita grafen eller matrisen. Symmetri i grafen ser man genom att kolla så att (förutom öglor) inga enkilriktade pilar finns mellan 2 noder. och i matrisen ser man det genom att kolla att matrisen speglar sig med avseende på diagonalen.  Anti-symmetri ser man genom att kolla så att inga dubberiktaade pilar finns mellan två noder i grafen och i matrisen: att INGENTING speglar sig med avseende på diagnolen. då bortser man från nollor i matrisen dock. Sedan transitivitet ser man (mycket svårt med matriser) med grafen genom att kolla så om aRb och bRc så gäller det att aRc alltså om det finns pil mellan a till b och b till c så finns en pil från a till c. a, b, c kan vara samma noder, antingen är två är samma eller att alla samma.

Smutsmunnen 206
Postad: 17 okt 2020

Tänk att vi har en mängd M och på den har vi en tom relation, dvs xRy är falskt för alla x,y i M.

Då är relationen såväl symmetrisk, anti-symmetrisk som transitiv.

Så om det första ledet i implikationerna är falsk (för alla x,y) så har relationen egenskapen i fråga.

Bara reflexivitet kräver att relationen är icke-tom.

Albiki 4788
Postad: 18 okt 2020

Hej,

Symmetrisk: Om x är relaterad till y så följer det att y är relaterad till x.

Anti-symmetrisk: Om x är relaterad till y och y är relaterad till x så följer det att x=y. 

Transitiv: Om x är relaterad till y och y är relaterad till z så följer det att x är relaterad till z.

Svara Avbryt
Close