binomekvation

JnGn skrev :

Hej

jag behöver lite hjälp med att förstå hur man får fram multiplarna av argumentet i följande uppgift:

Lös den binomiska ekvationen $z^4=-16$

Jag fick att beloppet blir 16 och argumentet $\pi$

Sedan delade jag med 4 då $2^4=16$ och fick då beloppet 2 och argumentet $\frac{\pi }{4}$

Det jag inte förstår är varför argumenten sedan blir en multipel av $\frac{\pi }{2}$ och inte $\frac{\pi }{4}$  är det för att vi har 2an som belopp och alltså får $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ ?

Nej det har ingenting med beloppet att göra utan det följer direkt av de Moivres formel med hänsyn tagen till periodiciteten på 2pi.

Ekvationen du ska lösa för att hitta argumenten v är:

4v = pi + n*2pi du ska lösa,  där 0 <= v <= 2pi.

Om du vill kan du istället använda enhetscirkeln för att hitta dessa 4 lösningar.

Hej JnGn!

Du börjar med att skriva $z = re^{iv}$ där modulen ($r$) och argumentet ($v$) är okända och ska bestämmas. Då blir det komplexa talet

    $z^4 = r^4e^{i4v}.$ 

Sedan skriver du det komplexa talet $-16$ som

    $-16 = 16e^{i\pi + i2\pi n}$,

där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.

Ekvationen $z^4 = -16$ ger en ekvation för modulen ($r^4 = 16$) och en ekvation för argumentet ($4v = \pi + 2\pi n$).

Albiki

okej så ska vi alltså dela $\pi +2\pi n$ med 4 eftersom vi har exponenten 4 ? då får vi $\frac{\pi }{4}$ i $z_0$och sedan $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ multiplar för värdet på n.

JnGn skrev :

okej så ska vi alltså dela $\pi +2\pi n$ med 4 eftersom vi har exponenten 4 ? då får vi $\frac{\pi }{4}$ i $z_0$och sedan $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ multiplar för värdet på n.

Ja.

Men det viktiga här är inte att du lär dig att det ska vara så just i detta fallet utan att du förstår varför det blir så.

För att förstå detta måste du vara bekant med komplexa tal på polär form.

Det finns två sorters polär form som man kan använda för att beskriva ett komplext tal z:

• Trigonometrisk form: z = r*(cos(v) + i*sin(v))
• Eponentiell form: z = r*e^(i*v)

Oavsett vilken av dessa representationer man använder så är följande egenskaper hos ett komplext tal z tydliga:

• Beloppet: Abs(z) = |z| = r
• Argumentet: Arg(z) = v

Detta tillsammans med räknereglerna för komplexa tal på polär form ger dig nödvändiga och tillräckliga verktyg för att ta dig an uppgifter av liknande slag.

Fråga gärna här om något av detta är oklart för dig.