Binomialtal

Hej!

Har verkligen fastnat på det här problemet:

$Utveckla {\left(1+x\right)}^m \times {\left(1+x\right)}^n = {\left(1+x\right)}^{m+n}$

Jag har börjat såhär:

$\underset{k=0}{\overset{m}{\sum }}$$\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right) x^k$ +  $\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}$$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) x^k$ = $\underset{k=0}{\overset{n+m}{\sum }}$$\left(\begin{array}{c}n+m\\ k\end{array}\right) x^k$

Men sen kommer jag inte längre...

I facit skriver de om HL till:

$\underset{k=0}{\overset{n+m}{\sum }}$$\left(\begin{array}{c}n+m\\ k\end{array}\right) x^k$ = $\underset{k=0}{\overset{n+m}{\sum }}$$\left(\underset{ j=0}{\overset{k}{\sum }} \left(\begin{array}{c}m\\ j\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}n\\ k-j\end{array}\right)\right)$$x^k$

Har svårt att förstå hur de kan skriva om det sådär, (speciellt det som jag rödmarkerat).

Skulle verkligen uppskatta om någon kunde förklara vad som händer! 

Detta ska i sin tur ge identiteten (vilket jag också kan se efter omskrivningen av HL):

$\left(\begin{array}{c}n+m\\ k\end{array}\right) =$$\underset{ j=0}{\overset{k}{\sum }} \left(\begin{array}{c}m\\ j\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}n\\ k-j\end{array}\right)$

Väldigt tacksam för hjälp!