Bisektris och trianglar.
Givet triangel ABC med sidlängder |AB|=c, |BC|=a, |CA|=b, låt L vara längden av bisektrisen till vinkeln C. Uttryck L^2 i sidlängderna a, b och c.
Har du ritat?
Vilka triangelsatser kan vara värda att prova?
Dr. G skrev :Har du ritat?
Vilka triangelsatser kan vara värda att prova?
Jag började med att uttrycka triangelns area på två olika sätt och jag har nu ett uttryck för x men hur fortsätter jag. Vilken är det effektivaste/snabbaste sättet att lösa uppgiften på?
Spontant tänker jag på sinussatsen, men det är möjligt att bisektrissatsen kan hjälpa till.
Kan någon lösa uppgiften? Jag har försökt.
Det borde gå med cosinussatsen och bisektrissatsen.
Ställ upp cosinussatsen på hela triangeln för vinkeln A (eller B).
Ställ upp cosinussatsen på triangeln innehållande bisektrisen och vinkel A.
Du har då två uttryck för cos(A). Lös ut L och använd bisektrissatsen för att eliminera den nya sidlängden.
Detta borde funka.
Dr. G skrev :Det borde gå med cosinussatsen och bisektrissatsen.
Ställ upp cosinussatsen på hela triangeln för vinkeln A (eller B).
Ställ upp cosinussatsen på triangeln innehållande bisektrisen och vinkel A.
Du har då två uttryck för cos(A). Lös ut L och använd bisektrissatsen för att eliminera den nya sidlängden.
Detta borde funka.
Har redan prövat. Det är en metod som fungerar men knappast den snabbaste. Jag skulle aldrig ha tid att lösa uppgiften med den metoden på ett prov.
Tror ändå det är det enklaste sättet, även då algebran minst sagt blir lite småbökig.
Det går även med sinussatsen två gånger och bisektrissatsen, men då får man med ett uttryck cos(C/2) och då kommer cosinussatsen in igen, så "totalt 4 satser", även om väl sinussatsen kan ses som hälften så bökig som cosinussatsen.
Min känsla är att det inte finns någon lösning som använder färre än 3 steg, vilket man får med cosinussatsen 2 gånger och bisektrissatsen en gång.
Lite off topic så ser jag även nu att sinussatsen och sin(pi - v) = sin(v) ger ett enkelt bevis för bisektrissatsen.
