Bitkostad för tvåpotensalgorithm: varför tänker jag fel?

Hej,

Det är ett steg i följande uppgift som jag inte förstår

Så här tänkte jag: om vi tänker oss att multiplikation är $O(k^2)$ där $k$ är antalet bitar för de två talen som multipliceras.

Sen tittar vi på pow <- pow * pow.

Då tänker jag så här: Det är "Värde på pow innan multiplikationen utförs" som påverkar bitkomplexiteten. I i=1, då beräknar vi 2*2. Att lagra talet 2 kräver 2 bitar.

P.s.s., i i=2, då beräknar vi 4*4. Att lagra resultatet (16, 2⁴), det kräver 5 bitar.

Därför blir min slutsats i varje iteration så multipliceras två stycken tal som tar upp $2^{i-1}+1$.

Bitkomplexiteten "per varv" blir således $(2^{i-1}+1)^2$. Loopen körs $\log m$ gånger, så jag ska summera över $\sum_1^{\log m} (2^{i-1}+1)^2)$. Men det är inte så facit gör:

Varför tänker jag fel?