Blandade övningar kap 1-3

Induktionsbevis börjar alltid med ett basfall. Eftersom det minsta n du ska visa detta för är n=3 är det rimligt att börja där. Så låt n vara 3 och visa att $n^3 - 4n$ i så fall är delbart med 3.

Sedan kan du undersöka "nästa n", dvs $(n+1)^3 - 4(n+1)$. Prova att utveckla detta, och med hjälp av basfallet visa att detta också måste vara delbart med 3.

Menar du att jag ska utveckla (n+1)^3-4(3+1)?

Ja, där har du kommit fram till att för n=3 har uttrycket värdet 15, vilket är delbart med 3 - Check!

Sen undersöker vi n+1, vilket vi kan tänka på som n=4, men också alla efterföljande tal. Det blir ett uttryck för "nästa n". Utvecklandet ser bra ut, men du saknar sista steget:

$n^3 + 3n^2 +3n +1 - 4n -1$

Vi ser att ettorna tar ut varandra, och genom att gruppera om termerna får vi:

$(n^3- 4n) + (3n^2 +3n)$

Parenteserna behövs inte, de är bara där för att jag ska kunna ställa två frågor: Är första parentesen delbar med 3? Och, är andra parentesen delbar med 3?

Första är ej delbar med 3, men den andra är det. Jag förstår ej vad du menar med det här stycket '' Sen undersöker vi n+1, vilket vi kan tänka på som n=4, men också alla efterföljande tal. Det blir ett uttryck för "nästa n".

Vi gör en funktion av det:

$f(n) = n^3 -4n$

Vi väljer ett specifikt n-värde (3) som vårt basfall. Jag kallar det b=3 för att hålla det isär från det mer generella n:et. Vi vet alltså att $f(b) = b^3 -4b$ är delbart med 3, för vi har kollat. Nu undrar vi om det även gäller för n=4, alltså b+1. Ditt räknande, fast med namnbyte på variabeln, ger att

$f(b+1) = (b^3 -4b) + (3b^2 + 3b)$

Nu undrar jag igen: Är första parentesen delbar med 3? Javisst - det är ju basfallet! b har värdet 3, så b^3 -4b är precis det som blev 15 och är delbart med 3. Är du med på detta?

Aa jag är med på det. Båda är alltså delbara med 3 

Jupp. Och då kan vi flytta vårt basfall b=3 till ett nytt "basfall", c=4. Vi vet att f(c) = c^3 - 4c är delbart med tre, för det visade vi nyss. Då undersöker vi n=5, dvs c+1:

$f(c+1) = \ldots = (c^3 - 4c) + (3c^2 + 3c)$

Och det här blir samma sak igen. Första parentesen är delbar med 3, eftersom det är lika med $f(4)$ som delbarheten redan är visad för. Andra parentesen är också delbar med 3, så delbarheten gäller även för $f(5)$.

Och så fortsätter det. Beviset bygger alltså vidare på förra n-värdet hela tiden. Nästa tal, f(n+1), blir ett tal som är delbart med 3 om det förra var ett tal som är delbart med 3. Eftersom vi har ett basfall som det gäller för, gäller delbarheten också för alla efterföljande n-värden.

Ok så det svaret är facit alltså?  Jag tror ej ettorna tar ut varandra eftersom n^3+3n^2+3n-4n-3 

Mahiya99 skrev:

Ok så det svaret är facit alltså?  Jag tror ej ettorna tar ut varandra eftersom n^3+3n^2+3n-4n-3 

Oj, det har du helt rätt i! Slarvigt av mig. Men -3:an hamnar också i den andra parentesen och ändrar inte att den parentesen blir delbar med 3. Ja, annars är vi klara.

Okej men jag redovisade så 

jag redovisade så