5 svar
65 visningar
Helgegustav är nöjd med hjälpen
Helgegustav Online 97
Postad: 14 okt 21:11

Cauchyföljder

Jag skall bevisa att summan av två Cauchyföljder är en Cauchyföljd.

1. Kan man säga att alla Cauchyföljder konvergerar mot reella tal?

2.  Mitt resonemang var att eftersom en Cauchyföljd representerar ett reellt tal, och summan av två reella tal är ett reellt tal, implicerar det att summan av två Cauchyföljder är en Cauchyföljd. Detta är tydligen fel, varför?

PATENTERAMERA 2933
Postad: 14 okt 21:23

Är frågan begränsad till följder i ? Då är alla Cauchyföljder konvergenta. Summan av två konvergenta följder är alltid konvergent. En konvergent följd är alltid en Cauchyföljd.

Helgegustav Online 97
Postad: 14 okt 21:30
PATENTERAMERA skrev:

Är frågan begränsad till följder i ? Då är alla Cauchyföljder konvergenta. Summan av två konvergenta följder är alltid konvergent. En konvergent följd är alltid en Cauchyföljd.

Det är inte begränsat till rella Cauchyföljder.

Jag vet att rationella Cauchyföljder räknas som divergenta eftersom de inte konvergerar mot ett rationellt tal. Men varför kan man inte säga att även rationella Cauchyföljder konvergerar, eftersom dom konvergerar mot ett reellt tal istället?

PATENTERAMERA 2933
Postad: 14 okt 22:06

OK låt oss vara lite mer generella och anta att vi har två följder (an) och (bn) i ett normerat vektorrum.

Om följderna är Cauchy så finns det för varje ϵ>0 ett heltal N sådant att ||an-am|| <ϵ2 och ||bn-bm||<ε2, då m,n  N.

Om du använder triangelolikheten så kan du visa att detta implicerar att an+bn-(am+bm)<ε, då m,n  N. Så följden (an) + (bn) är också en Cauchyföljd.

Så resultatet gäller allmänt för följder i normerade vektorrum.

Helgegustav Online 97
Postad: 14 okt 22:24
PATENTERAMERA skrev:

OK låt oss vara lite mer generella och anta att vi har två följder (an) och (bn) i ett normerat vektorrum.

Om följderna är Cauchy så finns det för varje ϵ>0 ett heltal N sådant att ||an-am|| <ϵ2 och ||bn-bm||<ε2, då m,n  N.

Om du använder triangelolikheten så kan du visa att detta implicerar att an+bn-(am+bm)<ε, då m,n  N. Så följden (an) + (bn) är också en Cauchyföljd.

Så resultatet gäller allmänt för följder i normerade vektorrum.

Likt ett språk som man kan förstå men inte tala, kan jag förstå vad du skriver utan att själv kunna göra det du gör. Jag har fortfarande inte förstått hur man använder triangelolikheten vid sådana här tillfällen. 

Om vi går tillbaka till min ursprungliga fråga nr 2, varför kan man inte skriva så och bevisa satsen på det viset?

Vet tyvärr inte vad ett normerat vektorrum är. Det har inte nämnts i kursen jag läser. 

PATENTERAMERA 2933
Postad: 14 okt 22:37 Redigerad: 14 okt 22:40

Om du tittar på följder i  eller , så är det bara att ersätta ||.|| med vanligt absolutbelopp |.|, beviset blir annars det samma. Triangelolikheten säger bara att |x+y|  |x| + |y|.

Ditt resonemang är likt det jag föreslog. Kanske ville din lärare se ett bevis som inte bygger på fullständigheten hos , eftersom resultatet på inget sätt beror på fullständigheten hos rummet.

Svara Avbryt
Close