Conformal mapping

Hej,

Du vill avbilda enhetsskivan $D$ på mängden $M$  där

    $D=\{z:|z|\leq 1\}$

och

    $M=\{re^{iv}: r\geq 0\text{ och }0<v<2\pi\}$

med kraven att $z=0+i0$ avbildas på $w=-5+i0$ och där gränsvärdeskravet kan tolkas som att $z=-1+i0$ avbildas på $w=0+i0$ (motsvarande $r=0$).

Om man väljer ett ytterligare par $(z_0,w_0)$ på lämpligt sätt så kan man förhoppningsvis konstruera en Möbiustransformation med de önskade egenskaperna genom att utgå från korsprodukten för de fyra paren $(0+i0,-5+i0)$, $(-1+i0,0+i0)$, $(z_0,w_0)$ och $(z,w)$ bevaras.

    $\displaystyle\frac{(0+i0)-z_0}{(-1+i0)-z_0}\cdot\frac{((-1+i0)-z}{(0+i0)-z} = \frac{(-5+i0)-w_0}{(0+i0)-w_0}\cdot\frac{(0+i0)-w}{(-5+i0)-w}$

Med slarvig notation kan kvoterna förenklas något.

    $\displaystyle\frac{z_0}{1+z_0}\cdot \frac{1+z}{z}=\frac{5+w_0}{w_0}\cdot\frac{w}{5+w}\Longleftrightarrow \frac{5}{w}+1=\frac{5+w_0}{w_0}\cdot \frac{1+z_0}{z_0}\cdot \frac{z}{1+z}$

som ger det explicita uttrycket

    $\displaystyle w=\frac{5+5z}{-1+\left(A_0-1\right)z}$

där symbolen $A_0$ betecknar produkten $\frac{5+w_0}{w_0}\cdot \frac{1+z_0}{z_0}$.

Nu gäller det att se till att om $z\in D$ så kommer det motsvarande komplexa talet $w$ att ligga i mängden $M$; här kommer förmodligen krav att behöva ställas på paret $(z_0,w_0)$ och därmed på produkten $A_0$ för att få det hela att passa enligt specifikation.

Tackar så mycket för din förklaring. Det har gett mig viktiga insikter i uppgiften hur man löser det mer systematiskt och effektivt. Jag tänker att man kanske kan välja det tredje paret som 1 och oändligheten. 1 ligger på D och oändligheten är i M. Ska testa och studera lite djupare ditt svar och se om det funkar. 

Räcker det verkligen med en möbius här? Tänker att enhetsskivan begränsas av en cirkel, som kommer att avbildas på en cirkel eller linje. Oavsett borde det väl bli svårt att täcka hela planet? Jag hade nog försökt få enhetscirkeln på realaxeln och sen tagit upphöjt till 2. Men inte säker på att det funkar.

Micimacko skrev:

Räcker det verkligen med en möbius här? Tänker att enhetsskivan begränsas av en cirkel, som kommer att avbildas på en cirkel eller linje. Oavsett borde det väl bli svårt att täcka hela planet? Jag hade nog försökt få enhetscirkeln på realaxeln och sen tagit upphöjt till 2. Men inte säker på att det funkar.

Tror inte att det räcker faktiskt nu när jag har suttit lite tag till. 

Hittade en likdan uppgift och enligt den metoden borde man först att avbilda enhetsskivan till högre halva plan och och sedan tagit upphöjt till 2 för att täcka hela planen minus den negativa real-axeln. Sedan roterar det med pi-grader Hittade en avbildning som verkar funka. 

Men hur testar jag att den avbildning är "conformal"? 

Har för mig att alla avbildningar som kan beskrivas i hela z (alltså inga x + iy separat någonstans) är konforma utom i punkter där derivatan är 0,brukar bara vara origo som försvinner.