Förenkla Cos(x)*Cos(-x)-Sin(x)*Sin(-x)

Nej

I såna här lägen ritar jag alltid upp en enhetscirkel med en radie som bildar vinkeln x och och en som har vinkeln -x och identifierar cos resp sin för dem i figuren. Då ser man förunderliga samband som gör uppgiften oväntat lätt.

Det enda jag lyckas förstå är att rita en enhetscirkel. Vad blir nästa steg?

Jo, frågan är rätt löst (om du redovisar vad du gör bättre!!). Alternativt så utnyttjar du att $\cos\left(-x\right)=\cos(x)$ och $\sin\left(-x\right)=-\sin(x)$. Du får du direkt att

$\cos\left(x\right)\cos\left(-x\right)-\sin\left(x\right)\sin\left(-x\right)=\cos^2\left(x\right)+\sin^2\left(x\right)=1$ med hjälp av trigonometriska ettan.

Jag använder additionsformeln cos(u+v) . Jag sätter x=u och -x=v . Hur skulle jag kunna ha redovisat bättre? För jag använde inte trigonometriska ettan

Katarina149 skrev:

Jag använder additionsformeln cos(u+v) . Jag sätter x=u och -x=v

Och det fungerar utmärkt, om du redovisar vad du gör i din lösning.

Moffen skrev:

Jo, frågan är rätt löst (om du redovisar vad du gör bättre!!). Alternativt så utnyttjar du att $\cos\left(-x\right)=\cos(x)$ och $\sin\left(-x\right)=-\sin(x)$. Du får du direkt att

$\cos\left(x\right)\cos\left(-x\right)-\sin\left(x\right)\sin\left(-x\right)=\cos^2\left(x\right)+\sin^2\left(x\right)=1$ med hjälp av trigonometriska ettan.

Här hängde jag inte med på dina räknesteg. 

Katarina149 skrev:

Moffen skrev:

Jo, frågan är rätt löst (om du redovisar vad du gör bättre!!). Alternativt så utnyttjar du att $\cos\left(-x\right)=\cos(x)$ och $\sin\left(-x\right)=-\sin(x)$. Du får du direkt att

$\cos\left(x\right)\cos\left(-x\right)-\sin\left(x\right)\sin\left(-x\right)=\cos^2\left(x\right)+\sin^2\left(x\right)=1$ med hjälp av trigonometriska ettan.

Här hängde jag inte med på dina räknesteg. 

Vi byter helt enkelt ut $\cos\left(-x\right)$ mot $\cos\left(x\right)$ eftersom dom är lika, och vi byter ut $\sin\left(-x\right)$ mot $-\sin\left(x\right)$ eftersom dom är lika. Då får du $\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot\left(-\sin(x)\right)=\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$, eftersom "$-\cdot - = +$".

Jag såg inte din redigering tidigare. Du kunde ha redovisat bättre genom att först skriva ner vad du vill förenkla, sen skriver du att du ser att du kan använda additionsformeln för $\cos$ baklänges och visar att du väljer $u=x$ och $v=-x$. Sen visar du din beräkning som du gjort.

Jag undrar hur du fick cos(x) * cos(-x) till att bli cos(x)^2?

För så långt är jag med i uträkningen. Hur går jag sedan vidare?

Återknyter till tipset om att rita upp en enhetscirkeln.

Komplettera med en radie med vinkeln -x  så ser du att de har samma cos och spegelvänt sin.

Med liknande enkla figurer kan man se de flesta trigonometriska samband som finns en sida här i tråden och slipper banka in dem i skallen.

Alltså  för senaste frågan: cos(x) = cos(-x)   =>  cos(x)cos(-x) = cos(x)cos(x)

och nästa uträkning börjar med sin(x) = -sin(-x)

Okej. Alltså gäller det att cos(-x)=cos(x)

alltså cos(x)*cos(x)-sin(x) * -(sin(x))

Detta ger oss cos²(x)+ sin²(x) 

Vilket enligt trigonometriska ettan är lika med 1

–

Det känns enklare för mig att lösa uppgiften på det här sättet än att rita en enhetscirkel 

Att rita enhetscirkeln med aktuella vinklar är bara ett tips för att hitta sambanden mellan de trigonometriska funktionerna - du kommer inte alltid att minnas dem när du behöver.

T.ex ser man att det du kallar trigonometriska ettan i själva verket är (ett specialfall av) Pytagoras sats!