Cykliska grupper har bara cykliska delgrupper med deras delare som delgrupp

Antag att $G$ är en (ändlig) cyklisk grupp av ordning $n$, genererad av något element $g$, så att $G=\{1,g,g^2,\dots,g^{n-1}\}$. Låt $d>1$ vara en delare till $n$.

1) $G$ har en delgrupp av ordning $d$.

Bevis: Om $n = dk$, så kan man enkelt verifiera att $H:=\langle g^k\rangle = \{1,g^k, g^{2k},\dots, g^{(d-1)k}\}$ är en cyklisk delgrupp av ordning $d$. Om t.ex. $n=12$ och $d=4$ så är $H=\{1, g^3, g^6, g^9\}$. $\square$

2) Delgruppen $H$ av ordning $d$ i 1) ovan är unik.

Bevis: Låt $K\subset G$ vara en godtycklig delgrupp av ordning $d$. Vi visar att $K=H$.

Eftersom $K$ är en delgrupp av en cyclisk grupp, så är $K$ cyklisk*. Specifikt är $K = \langle g^m\rangle$, där $m$ är det minsta positiva heltal sådant att $g^m\in K$.

Eftersom $|H|=d$ så är $g^{md} = 1$. Vi vet dock att $|g| = n$, så $md\geq n$. (Definitionen av ordning av ett gruppelement.) 

På samma sätt så är $d$ det minsta positiva heltal sådant att $(g^m)^d = g^{md} = 1$, eftersom ordningen av $K$ är $d$ och $g^m$ genererar $K$. Men eftersom $g^n = 1$ så betyder detta att $md\leq n$. Sammantaget betyder detta alltså att $md = n$, dvs. $m = n/d = k$. Alltså är $K = \langle g^k\rangle = H$. $\square$

*Sats. Låt $G=\langle g\rangle$ vara en cyklisk (inte nödvändigtvis ändlig) grupp och $H\subset G$ en delgrupp. Då är $H$ cyklisk med $H = \langle g^k\rangle$ där $k$ är det minsta positiva heltal sådant att $g^k \in H$.

Bevis. Om $H=\{1\}$ finns inget att visa, så antag att $H$ är icke-trivial. Eftersom $H\subset G$ så finns det något $n>0$ för vilket $g^n \in H$. Låt $k$ vara det minsta sådana talet. 

i) $\langle g^k\rangle \subset H$: Detta följer direkt eftersom $g^k\in H$ och $H$ är en delgrupp.

ii) $H\subset \langle g^k \rangle$: Låt $h\in H$ vara godtyckligt. Eftersom $G$ är cyklisk måste $h = g^m$ för något heltal $m$. Vi kan använda divisionsalgoritmen på $m$ med divisor $k$ vilken ger oss heltal $q$ och $r$ med $0\leq r<k$ och 

$m = qk + r$.

Vi kan då skriva

$g^r = g^m g^{-qk} = g^m (g^k)^{-q}$.

Vi noterar nu att eftersom både $g^m$ och $g^k$ (och således även $(g^k)^{-q}$) är element i $H$, så måste även $g^r \in H$. Eftersom $k$ var det minsta positiva heltal för vilket $g^k \in H$, samt att $r<k$ från divisionen ovan, så finns det bara en möjlighet: $r = 0$. Så $m = qk$, och

$h = g^m = (g^k)^q \in \langle g^k\rangle$.

Eftersom $h\in H$ var godtyckligt visar detta att $H\subset \langle g^k\rangle$.

Sammantaget ger i) och ii) att $H = \langle g^k\rangle$, så $H$ är cyklisk. $\square$

Miljoner tack. Väldetaljerat bevis, stor eloge till dig för att du tog dig tid att skriva ihop det! Nu förstår jag.