10 svar
762 visningar
simon95 behöver inte mer hjälp
simon95 5 – Fd. Medlem
Postad: 13 mar 2018 01:01

definiera polynomet p(x)=3x3−5x2−17x−5 för reella tal x.

Definiera polynomet p(x)=3x3−5x2−17x−5 för reella tal x.

a) Bestäm rötterna till p(x)=0. Ekvationen har en rationell rot, finn denna med lärobokens metodik. Vid polynomdivision behöver du inte visa alla steg, det räcker att du anger kvot och rest. I denna inlämningsuppgift får du inte använda pq-formeln (eller annan formel).

b) Polynomfaktorisera p(x). Du ska således skriva p(x) som en produkt av polynom av så låg grad som möjligt.

Med hjälp av wolframalpha har jag lyckats hitta 3 rötterna x=-1/3, x=1−6‾√, x=1+6‾√, men jag vet ej hur jag ska hitta lösningen för detta.

foppa 280 – Fd. Medlem
Postad: 13 mar 2018 07:11

Det verkar som att det är en specifik metod de vill att ni ska använda. Kommer inte ihåg själv vad det kan vara för någon metod, har du ett namn på den?

Yngve 40196 – Livehjälpare
Postad: 13 mar 2018 07:38

Det är satsen om rationella rötter som ska användas.

På engelska kallas den rational root theorem.

foppa 280 – Fd. Medlem
Postad: 13 mar 2018 09:34

Läckert, vettefasen om vi gick igenom den där när jag gick i skolan. simon95, engelska wikipedia-sidan för "rational root theorem" visar hur man hittar potentiella rötter till en tredjegradare, så de stegen borde ge dig bra tips.

Yngve, är det inte lite underligt ändå att de i uppgiften pratar om polynomdivision? Ser inte varför man skulle behöva det i (a)-uppgiften.

Yngve 40196 – Livehjälpare
Postad: 13 mar 2018 12:16 Redigerad: 13 mar 2018 12:19
foppa skrev :

Läckert, vettefasen om vi gick igenom den där när jag gick i skolan.

Jag var nog också sjuk den dagen 😉

...

Yngve, är det inte lite underligt ändå att de i uppgiften pratar om polynomdivision? Ser inte varför man skulle behöva det i (a)-uppgiften.

Uppgiften gäller att bestämma alla tre rötterna. Om du har gissat en rot x=-13 x=-\frac{1}{3} så måste du ju fortfarande bestämma de övriga två. Då är polynomdivisionen q(x)=p(x)x+13 q(x)=\frac{p(x)}{x+\frac{1}{3}} ett naturligt nästa steg.

simon95 5 – Fd. Medlem
Postad: 15 mar 2018 10:33

tydligen var jag helt ute och cyklade haha och fick till svars av läraren "Läs noga instruktionerna till uppgiften - du ska hitta den första roten (som är rationell) med hjälp av en sats ur boken." 

 

hittade detta förslag i boken, någon som kan hjälpa mig med A och B frågan som jag nämnde först :)

 

Sats 7. L˚at f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · · + a1x + a0 vara ett polynom med heltalskoefficienter.
Om p/q ¨ar en rot till f(x), d¨ar p/q ¨ar f¨orkortat s˚a l˚angt som m¨ojligt, s˚a m˚aste p vara en faktor i
a0 och q en faktor i an.
Vi utel¨amnar beviset, men det utf¨ors i princip p˚a samma s¨attt som vi resonerade i exemplet
tidigare.
Exempel 2.16. L˚at f(x) = x
3+x
2+x+ 1. Finn alla rationella l¨osningar till ekvationen f(x) = 0.
L¨osningsf¨orslag: Om polynomet har en rationell rot p/q, maximalt f¨orkortad, s˚a m˚aste det g¨alla
att q ¨ar en faktor till koefficienten framf¨or x
3
(som ¨ar 1) och att p ¨ar en faktor till den konstanta
termen (som ocks˚a ¨ar 1). Allts˚a ¨ar de enda m¨ojliga l¨osningarna
(−1)/(−1) = 1/1 = 1 och 1/(−1) = (−1)/1 = −1.
41
Ins¨attning ger
f(1) = 13 + 12 + 1 + 1 6= 0
och
f(−1) = (−1)3 + (−1)2 + (−1) + 1 = 0.
Allts˚a ¨ar −1 den enda rationella roten till polynomet f(x).

 

simon95 5 – Fd. Medlem
Postad: 15 mar 2018 23:24

detta har jag svarat på A nu...Om vi tittar på p(x)=$3x^{3}$-$5x^{2}$-17x-5. Om p/q är en förkortad rationell rot gäller p|5 och q|3. Detta ger oss att p= +-1, +-5 och q= +-1, +-3. Så de möjliga rationella rötterna är -1, 1, -1/3, 1/3, -5, 5, -5/3, 5/3. Sen sätter jag in dessa en efter en i ekvationen och ser vilken av dessa tal där ekvationen blir 0. Efter prövning ser jag att den enda rationella roten är (-1/3). 3*(-1/3)^3-5*(-1/3)^2-17*(-1/3)-5=0.

men har dock B kvar..

Yngve 40196 – Livehjälpare
Postad: 16 mar 2018 06:38 Redigerad: 16 mar 2018 06:39
simon95 skrev :

detta har jag svarat på A nu...Om vi tittar på p(x)=$3x^{3}$-$5x^{2}$-17x-5. Om p/q är en förkortad rationell rot gäller p|5 och q|3. Detta ger oss att p= +-1, +-5 och q= +-1, +-3. Så de möjliga rationella rötterna är -1, 1, -1/3, 1/3, -5, 5, -5/3, 5/3. Sen sätter jag in dessa en efter en i ekvationen och ser vilken av dessa tal där ekvationen blir 0. Efter prövning ser jag att den enda rationella roten är (-1/3). 3*(-1/3)^3-5*(-1/3)^2-17*(-1/3)-5=0.

men har dock B kvar..

Du är inte klar med a-uppgiften.

Du har hittat en rot, nämligen x1=-1/3 x_1=-1/3

Men du ska även hitta de övriga två rötterna x2 x_2 och x3 x_3 .

När du har gjort det så kan du gå vidare till b-uppgiften.

Det gäller då att (x-x1) (x-x_1) (x-x2) (x-x_2) och  (x-x3) (x-x_3) är faktorer i p(x) p(x) , dvs  p(x)=k·(x-x1)(x-x2)(x-x3) p(x)=k\cdot (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) för någon konstant k.

simon95 5 – Fd. Medlem
Postad: 17 mar 2018 11:33

Varför står det då att det är en rationell rot och att jag ska finna den?

Yngve 40196 – Livehjälpare
Postad: 17 mar 2018 12:08
simon95 skrev :

Varför står det då att det är en rationell rot och att jag ska finna den?

Kanske som hjälp på traven.

Det står att du ska bestämma rötterna, vilket innebär alla rötter. 

simon95 5 – Fd. Medlem
Postad: 17 mar 2018 15:26

Jag har skrivit däruppe ”så de möjliga rationella rötterna är”. Rättningen kom och jag hade rätt, tack ändå för att du gjorde ditt bästa :)

Svara
Close