Definitionsmängd för en funktion

Hej. Jag har en fråga angående när man ska bestämma definitionsmängd för en funktion.

 

Ex:  $f\left(x\right)=\frac{(x^2-1)}{(x-1)}$,  Här så gäller $x\ne 1$. (Division med 0)

 

Men förenkling av $f$ ger:  $\frac{(x^2-1)}{(x-1)}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}=(x+1)$

 

I detta fall: $f\left(x\right)=(x+1)$  så är definitionsmängden alla $x$

 

Så min fråga är om man ska utgå ifrån "ursprungsfunktionen" ($f\left(x\right)=\frac{(x^2-1)}{(x-1)}$) när man bestämmer definitionsmängden, eller om man ska förenkla uttrycket först ($f\left(x\right)=(x+1)$) för att efter det bestämma definitionsmängden för $f$.