Definitionsmängd, målmängd

Just, det definitionsmängden är $\mathbb{N}$ och målmängden är $\mathbb{R}$. Jag tycker inte du behöver förklara detta så jätteutförligt, men det kan vara bra att skriva att eftersom

$g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}$ och $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$

ger det att

$h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$

alltså

$h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$

Värdemängden är mycket riktigt alla de värden som funktionen kan anta, d.v.s. alla funktionens möjliga utvärden. Definitionsmängden däremot är alla värden som man kan stoppa in i funktionen, d.v.s. dess invärden.

Det svåra brukar vara att skilja på målmängd och värdemängd. Värdemängden är värdena som funktionen faktiskt antar medans målmängden enbart anger vilken typ av värden som funktionen ger. I det här fallet anger man värdemängden som $\mathbb{R}$ för att det ska bli tydligt vilken typ av värden som funktionen spottar ut, men funktionen antar långt ifrån alla reella tal.

AlvinB skrev:

Just, det definitionsmängden är $\mathbb{N}$ och målmängden är $\mathbb{R}$. Jag tycker inte du behöver förklara detta så jätteutförligt, men det kan vara bra att skriva att eftersom

$g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}$ och $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$

ger det att

$h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$

alltså

$h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$

Värdemängden är mycket riktigt alla de värden som funktionen kan anta, d.v.s. alla funktionens möjliga utvärden. Definitionsmängden däremot är alla värden som man kan stoppa in i funktionen, d.v.s. dess invärden.

Det svåra brukar vara att skilja på målmängd och värdemängd. Värdemängden är värdena som funktionen faktiskt antar medans målmängden enbart anger vilken typ av värden som funktionen ger. I det här fallet anger man värdemängden som $\mathbb{R}$ för att det ska bli tydligt vilken typ av värden som funktionen spottar ut, men funktionen antar långt ifrån alla reella tal.

 Just det, det var skillnaden mellan värdemängd och målmängd jag inte kan förstå, skrev fel. Hur går jag tillväga för att bestämma värdemängden? Är det något som ska räknas ut? Kan nämligen inte "se" direkt vad svaret skulle vara. 

Skriv ut ett uttryck för $h(x)$. Du kommer märka att den "yttersta" delen har en ganska välkänd värdemängd.

AlvinB skrev:

Skriv ut ett uttryck för $h(x)$. Du kommer märka att den "yttersta" delen har en ganska välkänd värdemängd.

 Menar du att skriva ett uttryck för h när jag sätter in en valfri x? Gjorde det men ser fortfarande inte svaret, det kan ju vara vad som helst beroende på vad x är?

Är du med på att eftersom $h(x)=f(g(x))$ är

$h(x)=$ $\cos(\dfrac{5\pi x}{6})$

?

Vet du vilka värden en cosinusfunktion kan anta? I så fall kan du enkelt säga vad värdemängden är.

AlvinB skrev:

Är du med på att eftersom $h\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)$ är

$h\left(x\right)=$ $\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi x}{6}}\right)$

?

Vet du vilka värden en cosinusfunktion kan anta? I så fall kan du enkelt säga vad värdemängden är.

 Ja, det första fattar jag. Cosinus borde kanske vara mellan -1 och 1 för att det är x-koordinatan för punkten som ligger på enhetscirkeln när vi ritar triangeln men har svårt att förklara det på ett bra sätt. 

Ja, cosinusfunktionen kan bara anta värden mellan $-1$ och $1$.

Som du säger beror det på $x$-koordinaterna på enhetscirkeln, men det brukar räcka med att med att bara säga att värdena varierar mellan $-1$ och $1$. Om du vill vara säker kan du fråga din lärare vilken typ av motivering som förväntas.

Målmängden för funktionen är [-1,1], men eftersom x bara kan anta heltalsvärden är det inte alla dessa värden som kommer ut ur den sammansatta funktionen om man stoppar in olika x. Vilka värden kan man få ut?

Hur vet man att x bara kan anta heltalsvärden? Är det inte definitionsmängden som man tittar på, alltså alla rationella tal? 

Vilken är definitionsmängden för h(x), d v s f(g(x))? Det visste du redan i din trådstart.

Ok, trodde att det var första funktionens def.mängd (f) det menades. Definitionsmängden för h(x) är N. Alltså bara 0 och 1 för värdemängden då? Och funktionen är ej surjektiv eftersom värdemängden inte är lika med målmängden. 

Hej!

Funktionen $g$ tar det naturliga talet $x$ och ger det rationella talet $5x/6$; sedan tar funktionen $f$ detta rationella tal och ger det reella talet $\cos (5\pi x/6)$.

Funktionen $h$ tar det naturliga talet $x$ och ger det reella talet $\cos(5\pi x/6)$.

Smaragdalena skrev:

Målmängden för funktionen är [-1,1], men eftersom x bara kan anta heltalsvärden är det inte alla dessa värden som kommer ut ur den sammansatta funktionen om man stoppar in olika x. Vilka värden kan man få ut?

 Nu blev jag förvirrad. Är målmängden för h [-1,1] och inte R? 

Kan h(x) vara t ex 2? Kan cosinus av något vara lika med 2?

nickifin skrev:

Smaragdalena skrev:

Målmängden för funktionen är [-1,1], men eftersom x bara kan anta heltalsvärden är det inte alla dessa värden som kommer ut ur den sammansatta funktionen om man stoppar in olika x. Vilka värden kan man få ut?

 Nu blev jag förvirrad. Är målmängden för h [-1,1] och inte R? 

 Det var jag som klantade mig. Målmängden är mycket riktigt $\mathbb{R}$ (eftersom funktionen $f$ anger det), men värdemängden är inte $[-1,1]$ som jag antydde.

Sätt in några heltalsvärden i $h(x)$. Det finns bara några värden som funktionen kan anta innan den börjar om (p.g.a. perioden i cosinusfunktionen).

Hej!

• Definitionsmängden till funktionen $g$ är mängden av naturliga tal $\mathbb{N}$.
• Målmängden till funktionen $g$ är mängden av rationella tal $\mathbb{Q}$.
• Värdemängden till funktionen $g$ är den delmängd till målmängden som består av rationella tal som är heltalsmultipler av talet $5/6$.

$D_g = \mathbb{N}$

$M_{g} = \mathbb{Q}$

$V_{g} = \{...\ , -10/6\ , -5/6\ , 0\ , 5/6 \ , 10/6 \ , 15/6 \ , ...\}$

Men nu var det ju inte funktionen $g$ som du skulle studera, utan den sammansatta funktionen $h$. Så hur ser det ut för $h$?

Dra lärdom av det jag skrivit om funktionen $g$ för att besvara motsvarande frågor om funktionen $h$.

Smaragdalena skrev:

Kan h(x) vara t ex 2? Kan cosinus av något vara lika med 2?

 Är det inte bara mellan -1 och 1 då? 

AlvinB skrev:

nickifin skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Målmängden för funktionen är [-1,1], men eftersom x bara kan anta heltalsvärden är det inte alla dessa värden som kommer ut ur den sammansatta funktionen om man stoppar in olika x. Vilka värden kan man få ut?

 Nu blev jag förvirrad. Är målmängden för h [-1,1] och inte R? 

 Det var jag som klantade mig. Målmängden är mycket riktigt $\mathbb{R}$ (eftersom funktionen $f$ anger det), men värdemängden är inte $[-1,1]$ som jag antydde.

Sätt in några heltalsvärden i $h(x)$. Det finns bara några värden som funktionen kan anta innan den börjar om (p.g.a. perioden i cosinusfunktionen).

 Ska jag räkna med alla x tills jag börjar få samma svar? 

nickifin skrev:

AlvinB skrev:

Visa föregående citat

nickifin skrev:

Smaragdalena skrev:

Målmängden för funktionen är [-1,1], men eftersom x bara kan anta heltalsvärden är det inte alla dessa värden som kommer ut ur den sammansatta funktionen om man stoppar in olika x. Vilka värden kan man få ut?

 Nu blev jag förvirrad. Är målmängden för h [-1,1] och inte R? 

 Det var jag som klantade mig. Målmängden är mycket riktigt $\mathbb{R}$ (eftersom funktionen $f$ anger det), men värdemängden är inte $[-1,1]$ som jag antydde.

Sätt in några heltalsvärden i $h(x)$. Det finns bara några värden som funktionen kan anta innan den börjar om (p.g.a. perioden i cosinusfunktionen).

 Ska jag räkna med alla x tills jag börjar få samma svar? 

 Ja, stoppa in $x$-värden tills mönstret börjar repetera sig självt. Då vet du att du fått med alla möjliga värden.

Finns det inte något annat sätt? Förstod nämligen inte riktigt hur man räknar ut det. 

nickifin skrev:

Finns det inte något annat sätt? Förstod nämligen inte riktigt hur man räknar ut det. 

 Börja med $x=1$. Det ger

$\cos(\dfrac{5\pi}{6})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ är alltså ett av elementen i värdemängden. Försök hitta de övriga.

AlvinB skrev:

nickifin skrev:

Finns det inte något annat sätt? Förstod nämligen inte riktigt hur man räknar ut det. 

 Börja med $x=1$. Det ger

$\cos(\dfrac{5\pi}{6})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ är alltså ett av elementen i värdemängden. Försök hitta de övriga.

 Jag har alltså svårt att räkna ut det då jag inte förstod det här med trianglarna. Men borde det inte vara mellan -1 och 1 eftersom det är en cos-funktion? Då kan värdena endast ligga mellan -1 och 1? 

nickifin skrev:

AlvinB skrev:

Visa föregående citat

nickifin skrev:

Finns det inte något annat sätt? Förstod nämligen inte riktigt hur man räknar ut det. 

 Börja med $x=1$. Det ger

$\cos(\dfrac{5\pi}{6})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ är alltså ett av elementen i värdemängden. Försök hitta de övriga.

 Jag har alltså svårt att räkna ut det då jag inte förstod det här med trianglarna. Men borde det inte vara mellan -1 och 1 eftersom det är en cos-funktion? Då kan värdena endast ligga mellan -1 och 1? 

 Jo, men man behöver vara mer specifik än så. Eftersom definitionsmängden är $\mathbb{N}$ kommer funktionen enbart att anta mycket specifika värden i intervallet $[-1,1]$.

Jag tog reda på det första värdet ovan. Pröva att sätta in $x=2$ och se vad som händer.

AlvinB skrev:

nickifin skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

nickifin skrev:

Finns det inte något annat sätt? Förstod nämligen inte riktigt hur man räknar ut det. 

 Börja med $x=1$. Det ger

$\cos(\dfrac{5\pi}{6})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ är alltså ett av elementen i värdemängden. Försök hitta de övriga.

 Jag har alltså svårt att räkna ut det då jag inte förstod det här med trianglarna. Men borde det inte vara mellan -1 och 1 eftersom det är en cos-funktion? Då kan värdena endast ligga mellan -1 och 1? 

 Jo, men man behöver vara mer specifik än så. Eftersom definitionsmängden är $\mathbb{N}$ kommer funktionen enbart att anta mycket specifika värden i intervallet $[-1,1]$.

Jag tog reda på det första värdet ovan. Pröva att sätta in $x=2$ och se vad som händer.

 Ok, jag tror att jag fattar. h(2)=1/2         h(3)=0    h(4)=-1/2   h(5)=√3/2    h(6)=-1

Ska jag ta med h(0)=1 också? 

Men det finns negativa också, skulle inte värdemängden endast bestå av positiva tal eller har jag fått det om bakfoten? 

Värdemängden kan bestå av vilka reella tal som helst. Däremot består definitionsmängden enbart av naturliga tal.

Och ja, du ska ha med $h(0)$ eftersom $0 \in \mathbb{N}$.

Då består värdemängden endast av 0, +/-1, +/-√3/2 och +/-1/2? 

Just det! Värdemängden är alltså:

$V_h=\{-1,-\dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1\}$

Tack, till slut fattade jag!