Defintion kruvintegral (Matematik/Universitet)

Fråga 2.

$\mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y))$ är ett kontinuerligt vektorfält.

Kurvan $\gamma$ är en slät ("smooth" i t ex Adams), orienterad kurva. Behöver ej vara sluten.

Anm Jag gillar inte definitionens framställning. Integralen bör skrivas

$\int\limits_{\gamma}\mathbf{F}\bullet d\mathbf{r}$ .

Fysikalisk tolkning: Integralen beskriver det arbete som utförs av kraffältet $\mathbf{F}$ längs $\gamma$ . Den aktiva kraftomposanten är parallell med kurvtangenten. Härav skalärprodukt.

dr_lund skrev:
Fråga 2.
$\mathbf{F}=(P(x,y),Q(x,y))$ är ett kontinuerligt vektorfält.
Kurvan $\gamma$ är en slät ("smooth" i t ex Adams), orienterad kurva. Behöver ej vara sluten.
Anm Jag gillar inte definitionens framställning. Integralen bör skrivas
$\int\limits_{\gamma}\mathbf{F}\bullet d\mathbf{r}$ .
Fysikalisk tolkning: Integralen beskriver det arbete som utförs av kraffältet $\mathbf{F}$ längs $\gamma$ . Den aktiva kraftomposanten är parallell med kurvtangenten. Härav skalärprodukt.

vad menas med det?slät? menar du svenskans glatt då?

men den måste va enkel?

Yes. ”Glatt/slät” beskriver en $C^1$ -kurva. Kurvan är enkel.

Att kurvan är glatt innebär att den har en kontinuerligt deriverbar parameterframställning samt att längdskalan i avbildningen från tallinjen till rummet är nollskild.

Det finns många olika sorters kurvintegraler med många olika sorters definitioner. Vilken definition du ska använda beror på kursens ambitionsnivå och syfte.

En rimlig utgångspunkt är att fältet är kontinuerligt och att kurvan är glatt.

Vi inser trivialt att tangentlinjeintegralen (den skalära typ av kurvintegral du just nu studerar) är oberoende av vilken parameterframställning man väljer, förutsatt att även den nya parametern växer i den positiva genomloppsriktningen. Låt t.ex. $C:\,\quad \mathbf{r}=\mathbf{r}(u),\,u\in[a,b]$ vara en parameterframställning för en orienterad glatt kurva C. Då kan kurvan även uttryckas med den alternativa framställningen:

$\displaystyle u=f(t)$

$\displaystyle \mathrm{d}u=\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm{d}t$

$\displaystyle \int_C\mathbf{F}(\mathbf{r}(f(t)))\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}t=\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r}(u)) \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\,\mathrm{d}u$

Jroth skrev:
Att kurvan är glatt innebär att den har en kontinuerligt deriverbar parameterframställning samt att längdskalan i avbildningen från tallinjen till rummet är nollskild.
Det finns många olika sorters kurvintegraler med många olika sorters definitioner. Vilken definition du ska använda beror på kursens ambitionsnivå och syfte.
En rimlig utgångspunkt är att fältet är kontinuerligt och att kurvan är glatt.
Vi inser trivialt att tangentlinjeintegralen (den skalära typ av kurvintegral du just nu studerar) är oberoende av vilken parameterframställning man väljer, förutsatt att även den nya parametern växer i den positiva genomloppsriktningen. Låt t.ex. $C:\,\quad \mathbf{r}=\mathbf{r}(u),\,u\in[a,b]$ vara en parameterframställning för en orienterad glatt kurva C. Då kan kurvan även uttryckas med den alternativa framställningen:
$\displaystyle u=f(t)$
$\displaystyle \mathrm{d}u=\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm{d}t$
$\displaystyle \int_C\mathbf{F}(\mathbf{r}(f(t)))\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}t=\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r}(u)) \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\,\mathrm{d}u$

Men läste detta:

https://math.stackexchange.com/questions/3411317/scalar-line-integrals-line-integrals-of-vector-fields-are-independent-of-parame

Ja, frågeställaren undrar om de två kurvintegralerna

$\displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(u))\cdot\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\mathrm{d}u$

$\displaystyle \int_C\phi|\mathrm{d}\mathbf{r}|=\int_a^b\mathbf{\phi}(\mathbf{r}(u))|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}|\mathrm{d}u$

är oberoende av parameterframställningen, och de är de, vilket man inser genom kedjeregeln, se min post ovan.

Jroth skrev:
Ja, frågeställaren undrar om de två kurvintegralerna
$\displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(u))\cdot\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\mathrm{d}u$
$\displaystyle \int_C\phi|\mathrm{d}\mathbf{r}|=\int_a^b\mathbf{\phi}(\mathbf{r}(u))|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}|\mathrm{d}u$
är oberoende av parameterframställningen, och de är de, vilket man inser genom kedjeregeln, se min post ovan.

men ang kedjeregeln, det hade inte fungerat om det tex var en derivata? bara just integraler?

Jroth skrev:
Att kurvan är glatt innebär att den har en kontinuerligt deriverbar parameterframställning samt att längdskalan i avbildningen från tallinjen till rummet är nollskild.
Det finns många olika sorters kurvintegraler med många olika sorters definitioner. Vilken definition du ska använda beror på kursens ambitionsnivå och syfte.
En rimlig utgångspunkt är att fältet är kontinuerligt och att kurvan är glatt.
Vi inser trivialt att tangentlinjeintegralen (den skalära typ av kurvintegral du just nu studerar) är oberoende av vilken parameterframställning man väljer, förutsatt att även den nya parametern växer i den positiva genomloppsriktningen. Låt t.ex. $C:\,\quad \mathbf{r}=\mathbf{r}(u),\,u\in[a,b]$ vara en parameterframställning för en orienterad glatt kurva C. Då kan kurvan även uttryckas med den alternativa framställningen:
$\displaystyle u=f(t)$
$\displaystyle \mathrm{d}u=\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm{d}t$
$\displaystyle \int_C\mathbf{F}(\mathbf{r}(f(t)))\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}t=\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r}(u)) \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\,\mathrm{d}u$

varför måste den btw vara positiv och inte tex negativ?

Den måste inte vara positiv men du måste specificera en riktning. Låter man en positiv genomloppsriktning motsvara växande parametervärden följer att $\mathrm{d}\mathbf{r}$ är riktad i den positiva genomloppsriktningen.

Om genomloppsriktningen till C ändras byter den första integralen tecken (tangentlinjeintegralen). Det är alltså inget magiskt med det utan bara en bekväm definition som berättar åt vilket håll kurvan är orienterad.

Det gör det lättare att få rätt riktningar och förhållanden när du sedan använder tangentlinjeintegralen i t.ex. Stokes sats eller när du räknar med potentialer. Försök därför alltid parametrisera så att kurvan genomlöps positivt när du låter din parameter växa. Var sedan uppmärksam på vad de frågar efter. Vill de genomlöpa kurvan baklänges är det bara att byta tecken!

Det kan vara värt att nämna att man inom fysik ibland väljer motsatt riktning (till följd av konventionen för potentialen $F=-\nabla U$ ).