Den egentliga skillnaden mellan Greens och potentialfält

Om det är ett potentialfält så blir kurvintegralen för en sluten kurva alltid 0. 

Greens formel används när du vill beräkna en kurvintegral och det är enklare att beräkna en ytintegral eller tvärt om.

Hej,

Om vektorfältet $(P,Q)$ är konservativt så är det skapat av en potentialfunktion $U$ och då blir kurvintegralen

    $\displaystyle\oint_\gamma$

lika med differensen

    $U(x_1, y_1)-U(x_0, y_0)$,

där kurvan $\gamma$ förbinder de två punkterna $(x_0,y_0)$ och $(x_1,y_1)$; om kurvan $\gamma$ är enkel sluten så är de två punkterna identiska och då blir differensen mellan potentialvärdena noll,

    $\displaystyle\oint_\gamma = U\left(x_0,y_0\right)-U\left(x_0,y_0\right)=0.$

Albiki skrev:

Hej,

Om vektorfältet $(P,Q)$ är konservativt så är det skapat av en potentialfunktion $U$ och då blir kurvintegralen

    $\displaystyle\oint_\gamma$

lika med differensen

    $U(x_1, y_1)-U(x_0, y_0)$,

där kurvan $\gamma$ förbinder de två punkterna $(x_0,y_0)$ och $(x_1,y_1)$; om kurvan $\gamma$ är enkel sluten så är de två punkterna identiska och då blir differensen mellan potentialvärdena noll,

    $\displaystyle\oint_\gamma = U\left(x_0,y_0\right)-U\left(x_0,y_0\right)=0.$

Så tänker jag rätt då, när jag säger att om det är ett konservativt fält, så är det en potentialfuntion man ska räkna? Är det inte konservativt så ska man tillämpa Greens?

sannakarlsson1337 skrev:

Visa spoiler

Albiki skrev:

Hej,

Om vektorfältet $(P,Q)$ är konservativt så är det skapat av en potentialfunktion $U$ och då blir kurvintegralen

    $\displaystyle\oint_\gamma$

lika med differensen

    $U(x_1, y_1)-U(x_0, y_0)$,

där kurvan $\gamma$ förbinder de två punkterna $(x_0,y_0)$ och $(x_1,y_1)$; om kurvan $\gamma$ är enkel sluten så är de två punkterna identiska och då blir differensen mellan potentialvärdena noll,

    $\displaystyle\oint_\gamma = U\left(x_0,y_0\right)-U\left(x_0,y_0\right)=0.$

 

Så tänker jag rätt då, när jag säger att om det är ett konservativt fält, så är det en potentialfuntion man ska räkna? Är det inte konservativt så ska man tillämpa Greens?

Om vektorfältet $(P,Q)$ inte är konservativt så får du beräkna kurvintegralen $\oint_\gamma P\,dx+Q\,dy$ på annat sätt; kanske via Greens teorem om förutsättningarna för teoremet är uppfyllda. Är förutsättningarna inte uppfyllda kanske en lämplig parametrisering av $\gamma$ låter dig bestämma kurvintegralen.

Albiki skrev:

sannakarlsson1337 skrev:

Visa föregående citat

Visa spoiler

Albiki skrev:

Hej,

Om vektorfältet $(P,Q)$ är konservativt så är det skapat av en potentialfunktion $U$ och då blir kurvintegralen

    $\displaystyle\oint_\gamma$

lika med differensen

    $U(x_1, y_1)-U(x_0, y_0)$,

där kurvan $\gamma$ förbinder de två punkterna $(x_0,y_0)$ och $(x_1,y_1)$; om kurvan $\gamma$ är enkel sluten så är de två punkterna identiska och då blir differensen mellan potentialvärdena noll,

    $\displaystyle\oint_\gamma = U\left(x_0,y_0\right)-U\left(x_0,y_0\right)=0.$

 

Så tänker jag rätt då, när jag säger att om det är ett konservativt fält, så är det en potentialfuntion man ska räkna? Är det inte konservativt så ska man tillämpa Greens?

Om vektorfältet $(P,Q)$ inte är konservativt så får du beräkna kurvintegralen $\oint_\gamma P\,dx+Q\,dy$ på annat sätt; kanske via Greens teorem om förutsättningarna för teoremet är uppfyllda. Är förutsättningarna inte uppfyllda kanske en lämplig parametrisering av $\gamma$ låter dig bestämma kurvintegralen.

Tack! nu börjar det äntligen klarna!