Derivata
Hej!
Jag behöver hjälp med följande uppgift:
"I ett kordinatsystem finns det en halvcirkel med radien 10 cm. I denna halvcirkel finns det en rektangel. Bestäm den största möjliga arean för denna rektangel"
Halvcirkel i uppgiften blev en andragrasfunktion:
Jag fick fram att följande andragrasfunktion (efter att jag lagt in de givna punkterna i bilden):
-0,1X^2 + 10
Sen tänkte jag att rektangeln skär x axeln när x =z och när x=-z
Jag la in x=z i funktionen för att få ett uttryck för höjden och då fick jag -0,1z^2 + 10
Jag multiplicerade höjden med basen och fick:
A(z)==
A'(z)=
Jag får en maxi-värde när z=
Sen sätter jag in detta värde i min ekvation för area. Jag fick då 76,98 vilket är fel svar. Vet inte riktigt vad jag gjort för fel..
Jag har litet svårt att följa dina räkningar, så jag räknar själv.
x2+y2 = 102 är cirkeln med radie 10 och centrum i origo. Nu skulle den vara halv så jag lägger till villkoret y ≥ 0.
sqr betyder roten ur, vi skriver y = sqr(100–x2)
Det står inte, men jag antar att rektangeln ligger med en sida på x-axeln och att den har hörn i
(±x, 0) och (±x, sqr(100–x2). De horisontella sidorna är 2x, de vertikala är sqr(100–x2).
arean A(x) = 2x sqr(100–x2).
A’(x) = 2sqr(100–x2) + 2x(1/2)(–2x)/sqr(100–x2). Förläng första termen med rottuttrycket och sätt på gemensamt bråkstreck. Du får
A’(x) = [1/sqr(100–x2)] [2(100–x2) – 2x2]. Nämnaren är alltid > 0, vi studerar tecken för täljaren T.
T = 200–4x2 = –4(x+sqr50)(x–sqr50). För Stora x är T negativ, teckenbyte för x = sqr 50.
Tecken
x sqr 50
A’ + 0 –
A väx max avt
Rättat här:
A(sqr 50) = 2(sqr50)sqr(100–50) = 2*50 = 100.
Svar Största arean för rektangeln är 100.
(Detta kan också vara felräknat, men skulle kunna vara rätt)
Alternativ lösning. Betrakta den halva av rektangeln där både x och y ≥ 0.
Låt punkten på cirkeln vara 10(cos v, sin v).
Arean H(v) av halva rektangeln är då 100 sin v cos v = 100[sin (2v)]/2
H’(v) = 100 cos (2v) som är 0 för 2v = 90°,
… (tecken etc)
Störst area är 2 * 100 (sin 90°)/2 = 100.
Felet är att du inte kan beskriva en halvcirkel med en parabel. En cirkel har ekvationen x2+y2 = r2.
Aha, det var därför jag inte alls begrep Platinas lösning. Good Point!
