Derivata, 3271 Ma3c 5000+
Jag skulle behöva hjälp med att förstå en del av frågan 3271 från Ma3c, det finns redan en tråd om denna frågan men den besvarar inte det jag undrar. Frågan ger funktionen f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+24 och sedan står det att en flicka påstår att funktionens minsta värde är f(1)=23. Uppgiften är att motivera om påståendet stämmer eller inte. Genom att derivera och sätta att f’(x)=0 får jag ut 1, vilket stämmer med påståendet och så långt förstår jag. Sedan tog jag fram andraderivatan eftersom jag även måste visa att punkten är en minimipunkt, men då får jag f’’(x)=12x^2-24x+12 och således f’’(1)=12*1^2-24*1+12=0. När jag använder min räknare för att bestämma f”(1) får jag 4*10^-6, vilket är nära noll men ändå positivt och ger på så sätt att punkten är en minimipunkt. Varför får jag ett svar med deriveringsregler och ett på räknaren? Och hur kan andraderivatan vara 0 om det är en minimipunkt? Jag förstår att man kan se att det är en minimipunkt genom att ex. rita upp grafen, men jag vill förstå hur jag kan få att andraderivatan är noll. Gör jag något fel? Tacksam för svar.
Hej.
Hur använde du räknaren för att bestämma f''(1)? Om du använde grafdelen så ska du veta att de värden du får ut därifrån är resultatet av numeriska metoder, vilket betyder att det är approximationer/närmevärden.
Svar på din andra fråga:
Det gäller att om f'(x1) = 0 och f''(x1) > 0 så har funktionen f en minimipunkt vid x1,.
Men det omvända gäller inte. Det finns även minimipunkter som inte uppfyller ovanstående villkor.
Ta t.ex. funktionen f(x) = x4.
- Förstaderivatan f'(x) = 4x3 är lika med 0 vid x = 0.
- Andraderivatan f''(x) = 12x är lika med 0 vid x = 0.
- Men ändå så har denna funktion ett minimivärde vid x = 0.
Se bild:
========
Tillägg: Om både första- och andraderivatan är lika med 0 vid ett specifikt x-värde så måste vi använda någon annan metod för att avgöra vilken typ av stationär punkt vi har att göra med (minimi-, maximi- eller terrasspunkt).
Då är en teckentabell ett bra verktyg.
=========
Läs gärna detta avsnitt som förklarar det hela lite mer ingående.
Och välkommen till Pluggakuten!
Tack så mycket för svar! Hade inte tänkt på att det inte gäller omvänt, det vill säga att f"(x)>0 inte måste gälla i en minimipunkt. Men jag förstår fortfarande inte riktigt varför det blir så? Hur kan det kan komma sig att andraderivatan kan vara 0 i en minimipunkt, som för x=0 i f(x)=x^4? Andraderivatan är ju "derivatan av derivatan", alltså "lutningen av lutningen", och även om punkterna runtom x=0 är mycket nära noll är de faktiskt lite större. I bilden du infogar på y=x^4 ser det ut som om f(x)=0 även runtom x=0, men om man skulle kolla tillräckligt nära skulle man ju se att värdena runtom är liiiite större- hur kan då andraderivatan vara 0? Funktionen går från ett något större värde till det minsta (f(0)=0) och sedan återigen till ett något större värde. På så sätt borde förstaderivatan för x<0 vara negativ och förstaderivatan för x>0 vara positiv, och då borde väll andraderivatan i x=0 vara positiv? Men det stämmer ju inte. Hur kan det komma sig?
Cykloalkan skrev:[...]
På så sätt borde förstaderivatan för x<0 vara negativ och förstaderivatan för x>0 vara positiv,
Ja, det stämmer. Det kan du t.ex. se om du gör en teckentabell
och då borde väll andraderivatan i x=0 vara positiv?
Nej, så måste det inte alltid vara.
Om förstaderivatan är en linjär funktion (t.ex. g(x) = x2 och g'(x) = 2x) så är det så, men det gäller inte i allmänhet.
Juste, såklart! Andraderivatan blir ju här en andragradsfunktion med en minimipunkt i x=0. Tack för bra hjälp.
Just så.
Välkommen tillbaka med massor av frågor kring skolarbete. Kika gärna även på Pluggakutens övriga kategorier:
