Derivata y'/y

Dela y`(1) på y(1)

Räkna ut y(1), dvs y när x = 1. Räkna sen ut y'(1), dvs y' när x = 1. Då kan du räkna ut $\frac{y\text{'}}{y}$för x=1.

Går även att göra i omvänd ordning, dvs att först ta fram ett uttryck för $\frac{y\text{'}}{y}$och sen sätta in x=1.

Du har missat att multiplicera med inre derivatan. Allmänt:

$y'=\frac{d}{dx}(ax+b)^c=c(ax+b)^{c-1}\cdot \frac{d}{dx}(ax+b)=$

$ca(ax+b)^{c-1}$

Kanske lite överkurs, men logaritmisk derivering fungerar särskilt bra här.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Logaritmisk_derivering

$\ln y=\ln (2x-3)^5$

$\ln y=5\ln (2x-3)$

$\frac{d}{dx}\ln y=\frac{d}{dx}(5\ln (2x-3))$

$\frac{1}{y}\cdot y'=5\cdot \frac{2}{2x-3}$

$\frac{y'}{y}=\frac{10}{2x-3}$

$\frac{y'(1)}{y(1)}=\frac{10}{2\cdot 1-3}=-10$

tomast80 skrev:

Kanske lite överkurs, men logaritmisk derivering fungerar särskilt bra här.

[...]

Snyggt, men finns det någon problematik kring metoden i detta fallet?

Jag tänker att när vi logaritmerar bägge led så begränsar vi ju definitionsmängden till $x>\frac{3}{2}$, och vid derivering borde vi få $\frac{1}{|y|}\cdot y'=5\cdot\frac{2}{|2x-3|}$?

Bra poäng, Yngve!

Om vi byter tecken då före vi logaritmerar för att få rätt intervall?

$\ln (-y)=\ln (3-2x)^5$

santas_little_helper skrev:

För funktion y = (2x - 3)^5  beräkna  y'/y  då  x = 1

y = (2x - 3)^5

y' = 5(2x - 3)^4

hur fortsätter jag?

Är det här verkligen en Ma3-uppgift? Varken kedjeregeln eller logaritmisk derivering hör till Ma3.

Ytterligare ett alternativ är att lösa den medelst derivatans definition och binomialsatsen (https://sv.wikipedia.org/wiki/Binomialsatsen), t.ex. via Pascals triangel: https://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel

Dock känns inte det heller som Matte 3-nivå.

$\displaystyle y'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{(2(1+h)-3)^5-(2\cdot 1-3)^5}{h}=$

$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(2h-1)^5-(-1)^5}{h}=...$

tomast80 skrev:

Bra poäng, Yngve!

Om vi byter tecken då före vi logaritmerar för att få rätt intervall?

$\ln (-y)=\ln (3-2x)^5$

Ja då fungerar det ju utan problem att beräkna kvoten för just detta värde på x.

Jag var mest nyfiken, eftersom jag tycker att numerisk derivering är så elegant, men först nu insåg jag att det kanske finns begränsningar som vi måste ta hänsyn till.

Kan vi t.ex. använda metoden för att ta fram det generella uttrycket $y'(x)=10\cdot (2x-3)^4$, som ju är giltigt för alla x i definitionsmängden till y?

Smaragdalena skrev:

santas_little_helper skrev:

För funktion y = (2x - 3)^5  beräkna  y'/y  då  x = 1

y = (2x - 3)^5

y' = 5(2x - 3)^4

hur fortsätter jag?

Är det här verkligen en Ma3-uppgift? Varken kedjeregeln eller logaritmisk derivering hör till Ma3.

Yupp. Det verkar som så i mina papper. Matte 3c närmare bestämt.

I mitt formelblad så måste det alltså vara formeln:

f (x) = ln u  -->  f' (x) u' * 1/u  fast u är då y istället.

Så vad är det rätta sättet? Är det logaritmisk derivering som tomast80 visade?

santas_little_helper skrev:

Så vad är det rätta sättet? Är det logaritmisk derivering som tomast80 visade?

Inget är väl det rätta, bara olika metoder. Men det som står i ditt formelblad är logaritmisk derivering.

Och det är alltså inte matte3 egentligen?

Vart kommer 2:an ifrån i täljaren tomast80? Förstår inte alla delar

$\frac{1}{y}$ ⋅ y' = 5 ⋅ $\frac{2}{2x-3}$

Det är inre derivatan: $\frac{d}{dx}(2x-3)=2$

santas_little_helper, det står i Pluggakutens regler att var och en av dina trådar skall ha en rubrik som skiljer dem från varandra. Just nu har du (minst!) två trådar som heter Derivata. Det gör det rörigt för oss som svarar när vi inte vet om det var den tråden man redan har börjat svara i, eller en helt annan tråd. Eftersom trådarna är äldre än 2 timmar, så att du inte kan redigera förstainlägget själv, hjälper jag dig att justera dina rubriker. /moderator