13 svar
77 visningar
elsy är nöjd med hjälpen!
elsy 13
Postad: 25 mar 2020

Derivata - andraderivata , avtagande eller växande

Hej, 

Hur ser man att en kurvas andraderivata är växande eller avtagande,  Dvs jag ser att vissa intervaller är växande och avtagande, när man sedan drar tangenten så är många av de avtagande eller växande. Dock är början av vissa växande intervaller av första derivatan terasspunkter, vilket lär bli positiv också. Hur blir det med andraderivatan?

Din fråga är otydlig.
För en funktion används vanligen förstaderivatan för att få fram funktionens extrempunkter (max, min eller terasspunkter) medan funktionens andraderivata kan berätta vilken typ av extrempunkter det är

elsy 13
Postad: 25 mar 2020

Detta är frågan, vet inte om jag tänkt rätt men tänker om de är konvex eller konkav

elsy 13
Postad: 25 mar 2020

Tänker att den är konvex, dvs positiv mellan a och e, f och g. Sedan att den är negativ mellan d och f, samt g och h. Vet inte om jag är helt ute och cyklar. 

För att kunna svara på detta behöver du skissa förstaderivatan i samma koordinatsystem - dra förslagsvis en x-axel under den befintliga och skissa grafen för förstaderivatan.
Du vet att om lutningen är positiv så är derivatans y-värde positivt och ju större lutning desto större värde.
Motsvarande, fast negativa värden, gäller om lutningen är negativ (nedåt)

Skissa grafen och visa den, så kan vi prata vidare

Din idé med konvex och konkav fungerar inte i detta sammanhang

Mer beskrivning av detta med extremvärden och derivata hittar du: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivatan-och-grafen/skissa-grafer

elsy 13
Postad: 25 mar 2020

Jag vet inte hur pass rätt jag lyckats skissa men fick ut något sånthär.

Bra första försök.
I intervallet a-c är jag överens med dig.
Men efter c och till e är lutningen negativ vilket medför att derivata-kurvan ligger under x-axeln men kommer upp till 0, dvs x-axeln i e (ett minimum för funktionen). Sedan är lutningen positiv till g, där den åter blir 0 för att sedan fortsätta positivt (g ska väl vara en terasspunkt, tycker jag mig tolka ur grafen)

Rita om grafen - du kan ju rita den nedanför din figur - så kan vi sen diskutera grafen för andraderivatan

mattenjutaren 16
Postad: 25 mar 2020

Det är väl egentligen helt ok att koppla det här till för vilka x funktionen är konvex respektive konkav. Den är ju konvex när andraderivatan är positiv. Andraderivatan är ju förstaderivatans derivata, är den positiv innebär det att förstaderivatan är växande. Det är samma sak som att funktionen är konvex och det inträffar t ex i intervallet d --> f. Observera att förstaderivatan är växande redan från x = d i det intervallet. 

Det här med att andraderivatan KAN användas för att avgöra om en extrempunkt är max eller min beror just på detta: Om andraderivatan är positiv i extrempunkten betyder det att funktionen är konvex där och då måste extrempunkten vara en minimipunkt. På motsvarande sätt för en negativ andraderivata, då är funktionen konkav i extrempunkten  som då måste vara en maximipunkt.

Hur man sedan ska rita graferna för första- och andraderivatan är lite att fundera på. Grafen för förstaderivatan får man väl försöka få ut med hjälp av tangenterna i de olika punkterna. Sen kan man ju göra tangenter på den kurvan också....

elsy 13
Postad: 25 mar 2020

Blev förrvirrad nu , känns som jag gjorde det värre men

mattenjutaren 16
Postad: 4 dagar sedan

Förvirring hör till! Du gör framsteg hela tiden. Nån miss på vägen - som nu när du skulle placera derivatans värde i g på grafen...det gör man lätt. Men det är en väldigt lärorik uppgift som det är värt att lägga tid på. Det är graferna som tar lite tid och där jobbar ni säkert bra ihop du och Henning.

Uppgifterna a) - d) ska inte vara några större problem när du förstår resonemanget. Kopplingen till konvex och konkav är användbar. Meningen är väl också att du ska inse att svaren på c) och d) bör vara samma som på a) och b) och det ska du klara utan att rita graferna för första- och andraderivatan. När du väl har fått till de här graferna sedan går du tillbaka till a) - f) och ser hur dina svar där stämmer överens med graferna.

elsy 13
Postad: 4 dagar sedan Redigerad: 4 dagar sedan

Nu har jag kommit fram till detta, dock vet jag inte om jag ritat rätt, speciallt andra derivatan. Då jag inte förstår hur jag ska rita in den. 

a) Första derivatan är växande mellan a till c, e till g och g till h. 

b) Första derivatan är avtagande mellan c till e, då lutningen är negativ. 

c) Lutningen är ökar och andraderivatan är positiv mellan d till g då f''(x)>0, även positiv mellan g till h. 

d) Andraderivatan är negativ för då lutningen minskar mellan a till d. 

 

Jag vet inte om jag tänkt rätt nu, är rätt så förrvirrad gällande att rita in f'(x) och f''(x) i grafen. 

Jag håller med om att detta inte är en lätt uppgift - men man lär sig mycket genom den.
Du går ju framåt hela tiden.
Din senaste graf för förstaderivatan är rätt fram till e, då den är 0 eftersom funktionens graf har lutningen 0 där.
Och därefter fortsätter ju lutningen positivt, dvs 1-a derivatan har positivt värde. När blir lutningen 0 igen? Jo, vid g, vilket du har markerat i din första skiss och lite svagt i den senaste.
Då har du i stort skissat grafen för 1-a derivatan.

Luta dig tillbaka lite och betrakta resultatet. Vad ser du för samband?

Därefter kan du skissa 2-a derivatans graf utgående från 1-a derivatans graf - på samma sätt som du gjort hittills.

När du har gjort det så kan vi gemensamt dra några slutsatser - om hur man kan få information om funktioners graf med hjälp av dess 1-a derivata och 2-a derivata.
Du jobbar bra, Elsy

Svara Avbryt
Close