3 svar
22 visningar
Bellasofie 29
Postad: 11 jan 2019 Redigerad: 11 jan 2019

Derivata av andra ordningen

Håller på med två uppgifter som är väldigt lika, där jag har fastnat på samma ställe.

Den första:

Bestäm y(x) som uppfyller ekvationen y"-3y'=0 och villkoren y'(0) = 0 och y(1)=1

Jag har fått fram den allmänna lösningen y=C+De3x, men hur går jag vidare därifrån? Kan inte komma ihåg då det var ett år sedan jag läste detta. 

Andra uppgiften:

Bestäm lösningen till y"+y'+0,25y=0 om y(0) = 0 och y'(0) = 2

Även här har jag tagit fram allmänna lösningen: y=e-1/2x(C+Dx)

Som sagt är det på samma ställe som jag inte minns hur jag ska gå vidare. 

Ta varje fråga i en egen tråd. /Smutstvätt, moderator


Angående första frågan: Sätt in ett: y(1)=C+D·e3, samt derivera funktionen och sätt in x = 0. Vad får du för ekvation?

Bellasofie 29
Postad: 11 jan 2019

Förlåt, jag känner mig jätteförvirrad just nu... är med på y(1)=1 ger C+De^3 = 1, men hänger inte med hur jag ska derivera funktionen 

Albiki 3141
Postad: 11 jan 2019

Första frågan.

Inför funktionen u(x)=y'(x)u(x) = y'(x) så att din differentialekvation blir en första ordningens differentialekvation för funktionen uu.

    u'(x)-3u(x)=0u'(x) - 3u(x) = 0 där u(0)=0u(0) = 0.

Multiplicera ekvationens båda led med den integrerande faktorn e-3xe^{-3x}.

    e-3xu'(x)-3e-3xu(x)=0(e-3xu(x))'=0e-3xu(x)=Ce^{-3x}u'(x) - 3e^{-3x}u(x) = 0 \iff (e^{-3x}u(x))' = 0 \iff e^{-3x}u(x) = C

Villkoret u(0)=0u(0) = 0 ger

    e-3·0u(0)=CC=0e^{-3\cdot 0}u(0) = C \iff C = 0

så att funktionen u(x)=0u(x) = 0 för alla xx. Det betyder att

    y'(x)=0y'(x) = 0 för alla xx

vilket är samma sak som att y(x)=Dy(x) = D (konstant) för alla xx; villkoret y(1)=1y(1) = 1 säger att D=1D = 1 så att funktionen

    y(x)=1y(x) = 1 för alla xx.

Svara Avbryt
Close