Derivata förenkling

Förenklingen är rätt. Detta är en intressant fråga. 

Iden är att

$\displaystyle f\cdot g = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}4$

Om du kan finna derivatan av $\frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}4$ så måste den då också vara lika med derivatan av $f\cdot g$. Vad derivatan av $f\cdot g$ är är exakt det som produktregeln beskriver. 

Detta bråk är konstruerat så att du bara behöver använda kedjeregeln för att ta derivatan av det. På så sätt kan du använda kedjeregeln för att härleda produktregeln. 

Okej, jag kan inte använda kedjeregeln på det där uttrycket. 

Dkcre skrev:

Okej, jag kan inte använda kedjeregeln på det där uttrycket. 

Jo, det kan man. De två viktiga komponenterna att ta derivatan av i bråket är $(f+g)^2$ och $(f-g)^2$.

Båda har strukturen "någon funktion i kvadrat". Detta kan man använda kedjeregeln för att ta derivatan på.

Inre funktion: $f \pm g$ 
Yttre funktion: $x^2$

Jag säger då 2(f'+g') - 2(f'-g')

2(f+g)(f'+g') - 2(f-g)(f'-g')

Dkcre skrev:

Jag säger då 2(f'+g')

Nästan. Glöm inte att kedjeregeln säger att man måste multiplicera med derivatan av den inre funktionen. 

2(f+g)(f'+g') - 2(f-g)(f'-g') kanske.

Sen dividera med 4 för att få koef 0.5 respektive 

Ja, det stämmer. Förenkla detta uttryck så bör du få fram samma sak som man får när man tar derivatan av $f\cdot g$.

2f f' + 2f g' +2g f' + 2g' g - 2f f' +2f g' + 2g f' -2g'g

(4fg' +4gf')/4 = fg' + gf'

Men jag tycker frågan är aningens knepigt formulerad och svårförståelig, men det är väl bara jag.

Dkcre skrev:

Men jag tycker frågan är aningens knepigt formulerad och svårförståelig, men det är väl bara jag.

Jo, jag kan hålla med. Behövde läsa den några gånger. Det finns också ett enklare sätt (tycker jag iaf) att uppnå frågans mål (att bevisa produktregeln med hjälp av kedjeregeln). Den lyder såhär:

Enligt kedjeregeln är derivatan av $(f+g)^2$

$\displaystyle 2(f+g)(f^\prime+g^\prime) = 2f \cdot f^\prime + 2f\cdot g^\prime + 2 g\cdot f^\prime + 2g\cdot g^\prime$

Om vi utvidgar parenteserna: $(f+g)^2 = f^2 + 2f\cdot g + g^2$ och tar derivatan av denna med kedjeregeln: 

Derivatan av $f^2$ är $2f \cdot f^\prime$ och derivatan av $g^2$ är $2g \cdot g^\prime$

Så då är derivatan av $f^2 + 2f\cdot g + g^2$ 

$2f \cdot f^\prime + 2g \cdot g^\prime + 2 \cdot \left(f\cdot g\right)^\prime$ 

Men eftersom detta är exakt samma som derivatan av $(f+g)^2$ har vi att 

$2f \cdot f^\prime + 2g \cdot g^\prime + 2 \cdot \left(f\cdot g\right)^\prime = 2f \cdot f^\prime + 2f\cdot g^\prime + 2 g\cdot f^\prime + 2g\cdot g^\prime$

Det finns flera termer som tar ut varandra (färgade) och efter lite förenkling får man fram produktregeln!

$\color{red}2f \cdot f^\prime$$+$$\color{blue}  2g \cdot g^\prime$$+ 2 \cdot \left(f\cdot g\right)^\prime =$$\color{red}2f \cdot f^\prime$$+ 2f\cdot g^\prime + 2 g\cdot f^\prime +$$\color{blue}2g\cdot g^\prime$

Förenklas till:

$\left(f\cdot g\right)^\prime = f\cdot g^\prime + f^\prime \cdot g$

Har lite svårt att följa det men tack för hjälpen 🙂 

Det vi ska visa är att
derivatan av   (f + g)²  är lika med   2(f + g)(f' + g')
vilket ju följer av kedjeregeln som förutsätts bekant.

Resten av resonemanget i  #12   är helt korrekt men behövs inte för att lösa uppgiften.
Det bekräftar bara att vi på vägen även använt produktregeln korrekt och det visste vi redan. 

Men snyggt resonerat är det!

Tillägg: 7 jun 2025 18:30

Hoppsan!
Jag har snurrat till det!
Återvände just till uppgiftstexten och såg att det var något helt annat vi skulle visa.
Och att det är precis vad AlexMu har gjort i sina inlägg,  #2 och #12 .

Derivatan av   (f + g)²  var bara ett steg på vägen.
Hela resonemanget ger en alternativ härledning till produktregeln
med enbart kedjeregeln som utgångspunkt.  Kul!