11 svar
220 visningar
Kristiana R är nöjd med hjälpen
Kristiana R 24
Postad: 29 aug 2022 17:34

Derivata med roter

y=xx +x

 

Hur kan jag lösa detta . För att jag vet inte vart ska jag börja för att möjligtvis använda kedjeregeln sedan. Detta är vad jag har försökt att göra. 

PATENTERAMERA Online 5611
Postad: 29 aug 2022 17:47 Redigerad: 29 aug 2022 19:36

Tips:

y4 = x2(x+x)

4y3y’ = ddx(x2(x+x))

Tomten 1747
Postad: 29 aug 2022 18:06

Implicitderivatan av y är väl lika med 4yy´ ???

PATENTERAMERA Online 5611
Postad: 29 aug 2022 19:30 Redigerad: 29 aug 2022 19:36
Tomten skrev:

Implicitderivatan av y är väl lika med 4yy´ ???

Tack. Helt korrekt. Korrigerat.

PATENTERAMERA Online 5611
Postad: 30 aug 2022 01:21

Hur gick det med denna? Kom du vidare?

ipsum 84
Postad: 30 aug 2022 10:01

Generell undring gällande detta. I matte lär man sig att när man gör ^2 på ekvationer, så måste man vara försiktig med att introducera falska rötter. Är det samma sak här om man nu senare skulle vilja undersöka derivatan, t.ex maxpunkt/minpunkt etc? För man arbetar man väl inte med exakt samma funktion längre?

tomast80 4229
Postad: 30 aug 2022 10:14

Tror inte det blir samma problem i detta fall.

Testa t.ex. med y=-xy=-x
y2=x2y^2=x^2
ddxy2=2x\frac{d}{dx}y^2=2x
2y·y'=2x2y\cdot y'=2x
y=2x2y=2x-2x=-1y=\frac{2x}{2y}=\frac{2x}{-2x}=-1

ipsum 84
Postad: 30 aug 2022 10:47
tomast80 skrev:

Tror inte det blir samma problem i detta fall.

Testa t.ex. med y=-xy=-x
y2=x2y^2=x^2
ddxy2=2x\frac{d}{dx}y^2=2x
2y·y'=2x2y\cdot y'=2x
y=2x2y=2x-2x=-1y=\frac{2x}{2y}=\frac{2x}{-2x}=-1

Finns det fall då det kan bli problem, eller fungerar detta alltid för derivator, så man behöver aldrig tänka på det?

PATENTERAMERA Online 5611
Postad: 30 aug 2022 13:09

Det kan bli problem om y har ett nollställe.

Om vi antar att f(x) är en deriverbar funktion och definierar g(x) = (f(x))2 så är g(x) deriverbar och g’(x) = 2f(x)f’(x). Om f(x) är skilt från 0 så kan vi dividera med f(x) och erhåller att f’(x) = g’(x)/f(x), inga problem.

I vårt problem så är y = 0 endast då x = 0, så i princip skulle vi behöva behandla fallet x = 0 separat, men det verkar klart att y’ inte är definierad för x = 0, så vi slipper göra någon separat beräkning.

Notera att vi skulle behöva göra separat beräkning för x = 0 även om vi använder kedjeregeln direkt på definitionen av y eftersom derivatan av x inte är definierad då x = 0.

Kristiana R 24
Postad: 30 aug 2022 20:04 Redigerad: 30 aug 2022 20:07
PATENTERAMERA skrev:

Tips:

y4 = x2(x+x)

4y3y’ = ddx(x2(x+x))

Hej 

Jag förstår inte vart detta kom ifrån alltså alltså y upphöjt till fyra. Alltså finns det någon regel som säger hur man ska tänka med roterna och i vilken ordning man ska jobba med dem ?

 

Matsmats 567 – Livehjälpare
Postad: 30 aug 2022 20:41

y upphöjt till 4 var nog ett trick för att bli av med de två "yttre" rötterna.

Kolla tipset från PATENTERAMERA, där har du y' och en funktion till höger som är enklare att derivera.

PATENTERAMERA Online 5611
Postad: 30 aug 2022 22:20
Kristiana R skrev:
PATENTERAMERA skrev:

Tips:

y4 = x2(x+x)

4y3y’ = ddx(x2(x+x))

Hej 

Jag förstår inte vart detta kom ifrån alltså alltså y upphöjt till fyra. Alltså finns det någon regel som säger hur man ska tänka med roterna och i vilken ordning man ska jobba med dem ?

 

Börja med att kvadrera.

y2xx+x2 = xx+x  (1)

Kvadrera en gång till.

y4xx+x2 = x2x+x=x3+x5/2  (2)

Vi kan du derivera både VL och HL i (2) map x.

VL

dy4dx=dy4dydydx = 4y3y’  (3)

HL:

dx3+x5/2dx = 3x2+52xx  (4)

Vi har att (3) måste vara lika med (4) och kan därför lösa ut y’ och erhåller 

y’ = 3x2+52xx4y3.

Obs du kan räkna med kedjeregeln på vanligt sätt, men det blir lite längre beräkningar, detta var lite av ett trick.

Börja med att sätta h(x) = xx+x.

Då blir y = h

y’ = dhdx=dhdhdhdx = 12hdhdx = 12ydhdx.

Sätt nu g(x) = x+x. Då har vi

h(x) = xgx.

dhdx=ddxxg = g+xdgdx = g+xdgdgdgdx = g+x12gdgdx.

dgdx=1+12x

Osv.

Svara Avbryt
Close