Derivata och asymptoter

Hej, har stött på två olika frågor som jag har problem med att beräkna:

1. När jag studerar olika grafer. T.ex. följande: $f (x) = \frac{1}{x^{2}} f (x) = \frac{1}{2 x^{2}} o c h f (x) = \frac{4}{x^{2}}$

Hur kan jag se skillnad på dessa om de ritas upp i ett koordinatsystem. Hur ser man vilken som växer mest/minst? T.ex. i följande uppgift:

Här kan jag utgå från den funktion som dominerar för stora x: x^2 eller för den som dominerar för små x (polynomdivisionuttrycket). Jag vet att den orange funktionen motsvarar B eftersom den växer fortast för stora X. Den gröna motsvarar A. Den blå måste då motsvara C eftersom den växer långsamt för stora x.

Om jag vill utgå från små värden på x får jag dock ett annat svar. 4/x^2 växer fortare än 1 /2x^2 och då borde C bli orange och B bli blå. Alltså tvärtom. Vad är det jag missar?

2. Derivera: $f (x) = 2 x^{\ln x}$ och $f (x) = 3 x^{x}$ .

Varför kan man inte göra på följande sätt i den första: f'(x) = $f' (x) = 2 * \ln x * x^{\ln x - 1} * (1 / x) = f' (x) = \frac{2 \ln x}{x} * x^{^\ln x - 1}$

Dvs. betrakta lnx som en inre derivata och 2x^n som en yttre derivata?

Definiera g(x) = 1/x² + x².

Då gäller

A) y = g(x)

B) y = g( $\sqrt{2}$ x)

C) y = g( $\frac{1}{2} x$ )

Säg att g(x) har ett minvärde då x = a. g(kx) får då ett motsvarande minvärde då kx = a, dvs då x = a/k. Hoppas att detta ger en ledning till hur man kan tänka.

På 2. skriv x som e^lnx. Då kan du sedan använda kedjeregeln.

Precis. Det var det jag undra. Måste man alltid skriva om till basen e? Kan man inte betrakta funktionen som x^n och sedan derivera? Därefter multiplicera med n' om n är den inre funktionen?

Vilken är din inre funktion? Vilken är din yttre funktion?

Inre funktion y(x) = lnx?

Yttre funktion z(y) = yⁿ?

h(x) = z(y(x)) = z(lnx) = (lnx)ⁿ.

Det blir inte rätt som du ser.

Så man måste alltid göra om till basen e?

Du kan även använda så kallad logaritmisk derivering.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = {(l n (f (x)))}^{'}$ .

Svara

Visa senaste svar